Dualidad de Pontryagin

Dualidad para grupos abelianos localmente compactos

Los enteros 2-ádicos , con los caracteres correspondientes seleccionados en su grupo dual Pontryagin

En matemáticas, la dualidad de Pontryagin es una dualidad entre grupos abelianos localmente compactos que permite generalizar la transformada de Fourier a todos esos grupos, que incluyen el grupo circular (el grupo multiplicativo de números complejos de módulo uno), los grupos abelianos finitos (con topología discreta ) , y el grupo aditivo de los números enteros (también con la topología discreta), los números reales y cada espacio vectorial de dimensión finita sobre los reales o un campo p -ádico .

El dual de Pontryagin de un grupo abeliano localmente compacto es el grupo topológico abeliano localmente compacto formado por los homomorfismos de grupo continuos del grupo al grupo circular con la operación de multiplicación puntual y la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos. El teorema de la dualidad de Pontryagin establece la dualidad de Pontryagin al afirmar que cualquier grupo abeliano localmente compacto es naturalmente isomorfo con su bidual (el dual de su dual). El teorema de inversión de Fourier es un caso especial de este teorema.

El tema lleva el nombre de Lev Pontryagin , quien sentó las bases de la teoría de los grupos abelianos localmente compactos y su dualidad durante sus primeros trabajos matemáticos en 1934. El tratamiento de Pontryagin se basó en que los grupos fueran contables en segundo lugar y compactos o discretos. Esto fue mejorado para cubrir los grupos abelianos locales compactos generales por Egbert van Kampen en 1935 y André Weil en 1940.

Introducción

La dualidad de Pontryagin sitúa en un contexto unificado una serie de observaciones sobre funciones en la línea real o en grupos abelianos finitos:

• Las funciones periódicas de valores complejos adecuadamente regulares en la recta real tienen series de Fourier y estas funciones se pueden recuperar a partir de sus series de Fourier;
• Las funciones de valores complejos adecuadamente regulares en la recta real tienen transformadas de Fourier que también son funciones en la recta real y, al igual que las funciones periódicas, estas funciones se pueden recuperar de sus transformadas de Fourier; y
• Las funciones de valores complejos en un grupo abeliano finito tienen transformadas de Fourier discretas , que son funciones en el grupo dual, que es un grupo isomorfo (no canónicamente). Además, cualquier función en un grupo abeliano finito se puede recuperar a partir de su transformada discreta de Fourier.

La teoría, introducida por Lev Pontryagin y combinada con la medida de Haar introducida por John von Neumann , André Weil y otros, depende de la teoría del grupo dual de un grupo abeliano localmente compacto .

Es análogo al espacio vectorial dual de un espacio vectorial: un espacio vectorial de dimensión finita y su espacio vectorial dual no son naturalmente isomorfos, pero el álgebra de endomorfismo (álgebra matricial) de uno es isomorfo al opuesto del álgebra de endomorfismo del otro: a través de la transposición. De manera similar, un grupo y su grupo dual no son en general isomorfos, pero sus anillos de endomorfismo son opuestos entre sí: . De manera más categórica, esto no es solo un isomorfismo de álgebras de endomorfismo, sino una equivalencia contravariante de categorías; ver § Consideraciones categóricas . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(V)\cong {{\text{End}}(V^{*})}^{\text{op}},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(G)\cong {\text{End}}({\widehat {G}})^{\text{op}}}$

Definición

Un grupo topológico es un grupo localmente compacto si el espacio topológico subyacente es localmente compacto y Hausdorff ; un grupo topológico es abeliano si el grupo subyacente es abeliano . Ejemplos de grupos abelianos localmente compactos incluyen grupos abelianos finitos, los números enteros (ambos para la topología discreta , que también es inducida por la métrica habitual), los números reales, el grupo circular T (ambos con su topología métrica habitual) y también los grupos abelianos finitos. números p -ádicos (con su topología p -ádica habitual).

Para un grupo abeliano localmente compacto , el dual de Pontryagin es el grupo de homomorfismos de grupo continuos desde al grupo circular . Eso es, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle {\widehat {G}}:=\operatorname {Hom} (G,T).}$$

topologíaconvergencia uniformeconjuntos compactostopología compacta-abierta ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$

Por ejemplo,

$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,\ {\widehat {\mathbb {Z} }}=T,\ {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} ,\ {\widehat {T}}=\mathbb {Z} .}$$

Teorema de la dualidad de Pontryagin

Teorema ^{[1] [2]}  -  Existe un isomorfismo canónico entre cualquier grupo abeliano localmente compacto y su doble dual. ${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G}$

Canónico significa que hay un mapa naturalmente definido  ; Más importante aún, el mapa debe ser funcional en . El isomorfismo canónico se define de la siguiente manera: ${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}\colon G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}}$ ${\displaystyle x\in G}$

$${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}(x)(\chi )=\chi (x)\in \mathbb {T} .}$$

$${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}(x):(\chi \mapsto \chi (x)).}$$

En otras palabras, cada elemento del grupo se identifica con el carácter de evaluación del dual. Esto es fuertemente análogo al isomorfismo canónico entre un espacio vectorial de dimensión finita y su doble dual , y vale la pena mencionar que cualquier espacio vectorial es un grupo abeliano . Si es un grupo abeliano finito, entonces este isomorfismo no es canónico. Para hacer esta afirmación precisa (en general) es necesario pensar en la dualización no sólo en grupos, sino también en mapas entre los grupos, para tratar la dualización como un funtor y demostrar que el funtor de identidad y el functor de dualización no son naturalmente equivalentes. Además, el teorema de la dualidad implica que para cualquier grupo (no necesariamente finito) el funtor de dualización es un funtor exacto . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V\cong V^{**}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\cong {\widehat {G}}}$

Dualidad de Pontryagin y transformada de Fourier

medida de pelo

Uno de los hechos más notables acerca de un grupo localmente compacto es que lleva una medida natural esencialmente única , la medida de Haar , que permite medir consistentemente el "tamaño" de subconjuntos suficientemente regulares de . "Subconjunto suficientemente regular" aquí significa un conjunto de Borel ; es decir, un elemento del σ-álgebra generado por los conjuntos compactos . Más precisamente, una medida de Haar correcta en un grupo localmente compacto es una medida contablemente aditiva μ definida en los conjuntos de Borel de la cual es invariante a la derecha en el sentido de que para un elemento de y un subconjunto de Borel de y también satisface algunas condiciones de regularidad (detalladas en detalle en el artículo sobre la medida Haar ). Excepto por los factores de escala positivos, una medida de Haar es única. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (Ax)=\mu (A)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

La medida de Haar nos permite definir la noción de integral para funciones de Borel ( de valores complejos ) definidas en el grupo. En particular, se pueden considerar varios espacios L p asociados a la medida de Haar . Específicamente, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(G)=\left\{(f:G\to \mathbb {C} )\ {\Big |}\ \int _{G}|f(x)|^{p}\ d\mu (x)<\infty \right\}.}$$

Tenga en cuenta que, dado que dos medidas de Haar son iguales hasta un factor de escala, este espacio es independiente de la elección de la medida de Haar y, por lo tanto, tal vez podría escribirse como . Sin embargo, la norma en este espacio depende de la elección de la medida de Haar, por lo que si uno quiere hablar de isometrías es importante realizar un seguimiento de la medida de Haar que se utiliza. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(G)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Transformada de Fourier y fórmula de inversión de Fourier para funciones L 1

El grupo dual de un grupo abeliano localmente compacto se utiliza como espacio subyacente para una versión abstracta de la transformada de Fourier . Si , entonces la transformada de Fourier es la función definida por ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

$${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\ d\mu (x),}$$

la medida de Haardesaparece en el infinito ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\chi )}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Fórmula de inversión de Fourier para funciones ${\displaystyle L^{1}}$ :  para cada medida de Haar hay una medida de Haar única de modo que siempre que y , tenemos ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{1}\left({\widehat {G}}\right)}$

$${\displaystyle f(x)=\int _{\widehat {G}}{\widehat {f}}(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi )\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}}$$

Si es continua, entonces esta identidad es válida para todos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

La transformada inversa de Fourier de una función integrable está dada por ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

$${\displaystyle {\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi ),}$$

dual ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$

Las diversas transformadas de Fourier se pueden clasificar en términos de su dominio y dominio de transformación (el grupo y el grupo dual) de la siguiente manera (tenga en cuenta que es el grupo circular ): ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Como ejemplo, supongamos que podemos pensar que mediante el emparejamiento Si es la medida de Lebesgue en el espacio euclidiano, obtenemos la transformada de Fourier ordinaria y la medida dual necesaria para la fórmula de inversión de Fourier es . Si queremos obtener una fórmula de inversión de Fourier con la misma medida en ambos lados (es decir, dado que podemos considerarlo como su propio espacio dual, podemos pedir que sea igual ), entonces necesitamos usar ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}=(2\pi )^{-n}\mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\\{\widehat {\mu }}&=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\end{aligned}}}$$

Sin embargo, si cambiamos la forma en que nos identificamos con su grupo dual, utilizando el emparejamiento ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} },}$$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$ ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$ ${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Álgebra de grupo

El espacio de funciones integrables en un grupo abeliano localmente compacto es un álgebra , donde la multiplicación es convolución: la convolución de dos funciones integrables y se define como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\ d\mu (y).}$$

Teorema  :  el espacio de Banach es un álgebra asociativa y conmutativa bajo convolución. ${\displaystyle L^{1}(G)}$

Esta álgebra se conoce como Álgebra de grupo de . Según el teorema de Fubini-Tonelli , la convolución es submultiplicativa con respecto a la norma, formando un álgebra de Banach . El álgebra de Banach tiene un elemento identidad multiplicativo si y sólo si es un grupo discreto, es decir, la función que es 1 en la identidad y cero en el resto. En general, sin embargo, tiene una identidad aproximada que es una red (o secuencia generalizada) indexada en un conjunto dirigido tal que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f*e_{i}\to f.}$

La transformada de Fourier lleva la convolución a la multiplicación, es decir, es un homomorfismo de álgebras abelianas de Banach (de norma ≤ 1): ${\displaystyle L^{1}(G)\to C_{0}\left({\widehat {G}}\right)}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi ).}$$

En particular, a cada carácter de grupo le corresponde un funcional lineal multiplicativo único en el álgebra de grupo definida por ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle f\mapsto {\widehat {f}}(\chi ).}$$

Es una propiedad importante del álgebra de grupos que agotan el conjunto de funcionales lineales multiplicativos no triviales (es decir, no idénticamente cero) en el álgebra de grupos; ver la sección 34 de (Loomis 1953). Esto significa que la transformada de Fourier es un caso especial de la transformada de Gelfand .

Teoremas de inversión de Plancherel y L 2 de Fourier

Como hemos dicho, el grupo dual de un grupo abeliano localmente compacto es un grupo abeliano localmente compacto por derecho propio y, por tanto, tiene una medida de Haar, o más precisamente toda una familia de medidas de Haar relacionadas con la escala.

Teorema  :  elija una medida de Haar y sea la medida dual como se definió anteriormente. Si es continuo con soporte compacto entonces y ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{2}\left({\widehat {G}}\right)}$

$${\displaystyle \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$$

En particular, la transformada de Fourier es una isometría de las funciones continuas de valores complejos de soporte compacto a las funciones on (usando la norma con respecto a para funciones on y la norma con respecto a para funciones on ). ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Dado que las funciones continuas de valores complejos del soporte compacto en son densas, existe una extensión única de la transformada de Fourier desde ese espacio a un operador unitario. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\to L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right).}$$

$${\displaystyle \forall f\in L^{2}(G):\quad \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$$

Tenga en cuenta que para grupos localmente compactos no compactos el espacio no contiene , por lo que la transformada de Fourier de funciones generales en "no" "no" está dada por ningún tipo de fórmula de integración (o realmente ninguna fórmula explícita). Para definir la transformada de Fourier hay que recurrir a algún truco técnico como partir de un subespacio denso como las funciones continuas con soporte compacto y luego extender la isometría por continuidad a todo el espacio. Esta extensión unitaria de la transformada de Fourier es lo que entendemos por transformada de Fourier en el espacio de funciones cuadradas integrables. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$

El grupo dual también tiene una transformada de Fourier inversa por derecho propio; se puede caracterizar como la inversa (o adjunta, ya que es unitaria) de la transformada de Fourier. Este es el contenido de la fórmula de inversión de Fourier que sigue. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Teorema  :  el adjunto de la transformada de Fourier restringida a funciones continuas de soporte compacto es la transformada de Fourier inversa

$${\displaystyle L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right)\to L_{\mu }^{2}(G)}$$

¿ Dónde está la medida dual para ? ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$

En el caso del grupo dual es naturalmente isomorfo al grupo de números enteros y la transformada de Fourier se especializa en el cálculo de coeficientes de series de Fourier de funciones periódicas. ${\displaystyle G=\mathbb {T} }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Si es un grupo finito, recuperamos la transformada discreta de Fourier . Tenga en cuenta que este caso es muy fácil de probar directamente. ${\displaystyle G}$

Compactificación de Bohr y casi periodicidad.

Una aplicación importante de la dualidad de Pontryagin es la siguiente caracterización de grupos topológicos abelianos compactos:

Teorema  :  un grupo abeliano localmente compacto es compacto si y sólo si el grupo dual es discreto. Por el contrario, es discreto si y sólo si es compacto. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Que ser compacto implica que es discreto o que ser discreto implica que es compacto es una consecuencia elemental de la definición de la topología compacto-abierto y no necesita la dualidad de Pontryagin. Se utiliza la dualidad de Pontryagin para demostrar lo contrario. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

La compactación de Bohr se define para cualquier grupo topológico , independientemente de si es localmente compacto o abeliano. Un uso que se hace de la dualidad de Pontryagin entre grupos abelianos compactos y grupos abelianos discretos es caracterizar la compactificación de Bohr de un grupo topológico abeliano localmente compacto arbitrario . La compactación de Bohr es , donde H tiene la estructura de grupo , pero dada la topología discreta . Desde el mapa de inclusión ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {H}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

$${\displaystyle \iota :H\to {\widehat {G}}}$$

$${\displaystyle G\sim {\widehat {\widehat {G}}}\to {\widehat {H}}}$$

propiedad universal

Consideraciones categóricas

La dualidad de Pontryagin también puede considerarse provechosamente desde el punto de vista funcional . En lo que sigue, LCA es la categoría de grupos abelianos localmente compactos y homomorfismos de grupos continuos. La construcción de grupo dual es un funtor contravariante LCA → LCA , representado (en el sentido de funtores representables ) por el grupo circular como En particular, el funtor dual doble es covariante . Una formulación categórica de la dualidad de Pontryagin establece entonces que la transformación natural entre el funtor de identidad en LCA y el funtor dual dual es un isomorfismo. ^[3] Desenrollando la noción de una transformación natural, esto significa que los mapas son isomorfismos para cualquier grupo abeliano localmente compacto , y estos isomorfismos son funtoriales en . Este isomorfismo es análogo al doble dual de espacios vectoriales de dimensión finita (un caso especial, para espacios vectoriales reales y complejos). ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}={\text{Hom}}(G,\mathbb {T} ).}$ ${\displaystyle G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G\to \operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (G,T),T)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Una consecuencia inmediata de esta formulación es otra formulación categórica común de la dualidad de Pontryagin: el funtor de grupo dual es una equivalencia de categorías de LCA a LCA ^op .

La dualidad intercambia las subcategorías de grupos discretos y grupos compactos . Si es un anillo y es un módulo izquierdo , el grupo dual se convertirá en un módulo derecho; de esta manera también podemos ver que los módulos izquierdos discretos serán módulos duales de Pontryagin a los módulos derechos compactos. El anillo de endomorfismos en LCA se cambia por dualidad a su anillo opuesto (cambia la multiplicación al otro orden). Por ejemplo, si es un grupo discreto cíclico infinito, es un grupo circular: el primero tiene , por lo que esto también es cierto para el segundo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{End}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(G)=\mathbb {Z} }$

Generalizaciones

Las generalizaciones de la dualidad de Pontryagin se construyen en dos direcciones principales: para grupos topológicos conmutativos que no son localmente compactos y para grupos topológicos no conmutativos. Las teorías en estos dos casos son muy diferentes.

Dualidades para grupos topológicos conmutativos

Cuando es un grupo topológico abeliano de Hausdorff, el grupo con topología abierta compacta es un grupo topológico abeliano de Hausdorff y el mapeo natural desde su doble dual tiene sentido. Si este mapeo es un isomorfismo, se dice que satisface la dualidad de Pontryagin (o que es un grupo reflexivo , ^[4] o un grupo reflexivo ^[5] ). Esto se ha extendido en varias direcciones más allá del caso localmente compacto. ^[6] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

En particular, Samuel Kaplan ^{[7] [8]} demostró en 1948 y 1950 que los productos arbitrarios y los límites inversos contables de grupos abelianos localmente compactos (Hausdorff) satisfacen la dualidad de Pontryagin. Tenga en cuenta que un producto infinito de espacios localmente compactos no compactos no es localmente compacto.

Más tarde, en 1975, Rangachari Venkataraman ^[9] demostró, entre otros hechos, que todo subgrupo abierto de un grupo topológico abeliano que satisface la dualidad de Pontryagin satisface a su vez la dualidad de Pontryagin.

Más recientemente, Sergio Ardanza-Trevijano y María Jesús Chasco ^[10] han ampliado los resultados de Kaplan mencionados anteriormente. Demostraron que los límites directos e inversos de secuencias de grupos abelianos que satisfacen la dualidad de Pontryagin también satisfacen la dualidad de Pontryagin si los grupos son metrizables o espacios - pero no necesariamente localmente compactos, siempre que las secuencias cumplan algunas condiciones adicionales. ${\displaystyle k_{\omega }}$

Sin embargo, hay un aspecto fundamental que cambia si queremos considerar la dualidad de Pontryagin más allá del caso localmente compacto. Elena Martín-Peinador ^[11] demostró en 1995 que es un grupo topológico abeliano de Hausdorff que satisface la dualidad de Pontryagin y el emparejamiento de evaluación natural ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\begin{cases}G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} \\(x,\chi )\mapsto \chi (x)\end{cases}}}$$

^[a] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$

Otra forma de generalizar la dualidad de Pontryagin a clases más amplias de grupos topológicos conmutativos es dotar al grupo dual de una topología un poco diferente, a saber, la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotados . Los grupos que satisfacen la identidad bajo este supuesto ^[b] se denominan grupos estereotipados . ^[5] Esta clase también es muy amplia (y contiene grupos abelianos localmente compactos), pero es más estrecha que la clase de grupos reflexivos. ^[5] ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$

Dualidad de Pontryagin para espacios vectoriales topológicos

En 1952 Marianne F. Smith ^[12] notó que los espacios de Banach y los espacios reflexivos , al ser considerados grupos topológicos (con la operación de grupo aditivo), satisfacen la dualidad de Pontryagin. Posteriormente, BS Brudovskiĭ, ^[13] William C. Waterhouse ^[14] y K. Brauner ^[15] demostraron que este resultado puede extenderse a la clase de todos los espacios con barriles cuasi completos (en particular, a todos los espacios de Fréchet ). En la década de 1990, Sergei Akbarov ^[16] dio una descripción de la clase de espacios vectoriales topológicos que satisfacen una propiedad más fuerte que la reflexividad clásica de Pontryagin, a saber, la identidad

$${\displaystyle (X^{\star })^{\star }\cong X}$$

topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotadosespacios estereotipados ${\displaystyle X^{\star }}$ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X^{\star })^{\star }}$ ${\displaystyle X^{\star }}$

Dualidades para grupos topológicos no conmutativos

Para grupos localmente compactos no conmutativos, la construcción clásica de Pontryagin deja de funcionar por varias razones, en particular, porque los caracteres no siempre separan los puntos de y las representaciones irreducibles de no siempre son unidimensionales. Al mismo tiempo, no está claro cómo introducir la multiplicación en el conjunto de representaciones unitarias irreducibles de , e incluso no está claro si este conjunto es una buena elección para el papel del objeto dual de . De modo que el problema de construir la dualidad en esta situación requiere un replanteamiento completo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Las teorías construidas hasta la fecha se dividen en dos grupos principales: las teorías en las que el objeto dual tiene la misma naturaleza que el fuente (como en la dualidad de Pontryagin), y las teorías en las que el objeto fuente y su dual difieren radicalmente entre sí. que es imposible contarlos como objetos de una clase.

Las teorías del segundo tipo fueron históricamente las primeras: poco después del trabajo de Pontryagin, Tadao Tannaka (1938) y Mark Kerin (1949) construyeron una teoría de la dualidad para grupos compactos arbitrarios conocida ahora como la dualidad Tannaka-Krein . ^{[17] [18]} En esta teoría el objeto dual de un grupo no es un grupo sino una categoría de sus representaciones . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (G)}$

Dualidad para grupos finitos.

Las teorías del primer tipo aparecieron más tarde y el ejemplo clave para ellas fue la teoría de la dualidad para grupos finitos. ^{[19] [20]} En esta teoría, la categoría de grupos finitos está incluida mediante la operación de tomar el álgebra de grupos (sobre ) en la categoría de álgebras de Hopf de dimensión finita , de modo que el funtor de dualidad de Pontryagin se convierte en la operación de tomar el vector dual espacio (que es un funtor de dualidad en la categoría de álgebras de Hopf de dimensión finita). ^[20] ${\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{G}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle H\mapsto H^{*}}$

En 1973, Leonid I. Vainerman , George I. Kac, Michel Enock y Jean-Marie Schwartz construyeron una teoría general de este tipo para todos los grupos localmente compactos. ^[21] A partir de la década de 1980, la investigación en esta área se reanudó después del descubrimiento de los grupos cuánticos , a los que comenzaron a transferirse activamente las teorías construidas. ^[22] Estas teorías están formuladas en el lenguaje de las álgebras C* , o álgebras de Von Neumann , y una de sus variantes es la reciente teoría de los grupos cuánticos localmente compactos . ^{[23] [22]}

Sin embargo, uno de los inconvenientes de estas teorías generales es que en ellas los objetos que generalizan el concepto de grupo no son álgebras de Hopf en el sentido algebraico habitual. ^[20] Esta deficiencia puede corregirse (para algunas clases de grupos) dentro del marco de las teorías de la dualidad construidas sobre la base de la noción de envoltura del álgebra topológica. ^[24]

Ver también

• Teorema de Peter-Weyl
• Dualidad Cartier
• Espacio estereotipado

Notas

1. Continuidad conjunta significa aquí que el mapa es continuo como un mapa entre espacios topológicos, donde está dotado de la topología del producto cartesiano. Este resultado no se cumple si se supone que el mapa es continuo por separado o continuo en el sentido del estereotipo . ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$
2. Donde el segundo grupo dual es dual en el mismo sentido. ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Citas

1. Hewitt y Ross 1963, (24.2)
2. Morris 1977, Capítulo 4
3. Roder 1974
4. Onishchik 1984
5. Akbarov y Shavgulidze 2003
6. Chasco, Dikranjan y Martín-Peinador 2012
7. Kaplan 1948
8. Kaplan 1950
9. Venkataraman 1975
10. Ardanza-Trevijano y Chasco 2005
11. Martín Peinador 1995
12. Herrero 1952
13. Brudovskiĭ 1967
14. Casa de agua 1968
15. Brauner 1973
16. Akbarov 2003
17. Hewitt y Ross 1970
18. Kirillov 1976
19. Kirillov 1976, 12.3
20. Akbarov 2009
21. Enock y Schwartz 1992
22. Timmermann 2008
23. Kustermans y Vaes 2000
24. Akbarov 2009, 2017a, 2017b

Referencias

• Akbarov, SS (2003). "Dualidad de Pontryagin en la teoría de espacios vectoriales topológicos y en álgebra topológica". Revista de Ciencias Matemáticas . 113 (2): 179–349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID  115297067.
• Akbarov, Sergei S.; Shavgulidze, Evgeniy T. (2003). "Sobre dos clases de espacios reflexivos en el sentido de Pontryagin". Matematicheskii Sbornik . 194 (10): 3–26.
• Akbarov, Sergei S. (2009). "Funciones holomorfas de tipo exponencial y dualidad para grupos de Stein con componente de identidad algebraico conectado". Revista de Ciencias Matemáticas . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . doi :10.1007/s10958-009-9646-1. S2CID  115153766.
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