En teoría de la representación , la categoría de representaciones de alguna estructura algebraica A tiene las representaciones de A como objetos y aplicaciones equivariantes como morfismos entre ellas. Uno de los objetivos básicos de la teoría de la representación es comprender las condiciones bajo las cuales esta categoría es semisimple ; es decir, si un objeto se descompone en objetos simples (ver el teorema de Maschke para el caso de grupos finitos ).
El formalismo tannakiano da condiciones bajo las cuales un grupo G puede recuperarse de la categoría de representaciones del mismo junto con el functor olvidadizo a la categoría de espacios vectoriales . [1]
El anillo de Grothendieck de la categoría de representaciones de dimensión finita de un grupo G se llama anillo de representación de G.
Dependiendo de los tipos de representaciones que se quieran considerar, es típico utilizar definiciones ligeramente diferentes.
Para un grupo finito G y un campo F , la categoría de representaciones de G sobre F tiene
La categoría se denota por o .
Para un grupo de Lie , normalmente se requiere que las representaciones sean fluidas o admisibles . Para el caso de un álgebra de Lie , véase Representación del álgebra de Lie . Véase también: categoría O.
Existe un isomorfismo de categorías entre la categoría de representaciones de un grupo G sobre un campo F (descrita anteriormente) y la categoría de módulos sobre el anillo de grupo F [ G ], denotado F [ G ]-Mod .
Cada grupo G puede verse como una categoría con un solo objeto, donde los morfismos en esta categoría son los elementos de G y la composición viene dada por la operación del grupo; entonces G es el grupo de automorfismos del objeto único. Dada una categoría arbitraria C , una representación de G en C es un functor de G a C. Tal funtor envía el objeto único a un objeto, digamos X en C , e induce un homomorfismo de grupo ; consulte Grupo de automorfismo#En teoría de categorías para obtener más información. Por ejemplo, un conjunto G es equivalente a un funtor de G a Set , la categoría de conjuntos , y una representación lineal es equivalente a un funtor de Vect F , la categoría de espacios vectoriales sobre un campo F. [2]
En este entorno, la categoría de representaciones lineales de G sobre F es la categoría de functor G → Vect F , que tiene transformaciones naturales como morfismos.
La categoría de representaciones lineales de un grupo tiene una estructura monoidal dada por el producto tensorial de las representaciones , que es un ingrediente importante en la dualidad Tannaka-Krein (ver más abajo).
El teorema de Maschke establece que cuando la característica de F no divide el orden de G , la categoría de representaciones de G sobre F es semisimple .
Dado un grupo G con un subgrupo H , hay dos functores fundamentales entre las categorías de representaciones de G y H (sobre un campo fijo): uno es un functor olvidadizo llamado funtor de restricción
y el otro, el funtor de inducción
Cuando G y H son grupos finitos, son adyacentes entre sí.
un teorema llamado reciprocidad de Frobenius .
La cuestión básica es si la descomposición en representaciones irreductibles (objetos simples de la categoría) se comporta bajo restricción o inducción. La cuestión puede ser atacada, por ejemplo, por la teoría de Mackey .
La dualidad Tannaka-Krein se refiere a la interacción de un grupo topológico compacto y su categoría de representaciones lineales . El teorema de Tannaka describe el paso inverso de la categoría de representaciones de dimensión finita de un grupo G al grupo G , permitiendo recuperar el grupo de su categoría de representaciones. En efecto, el teorema de Krein caracteriza completamente todas las categorías que pueden surgir de un grupo de esta manera. Estos conceptos se pueden aplicar a representaciones de varias estructuras diferentes; consulte el artículo principal para obtener más detalles.
