Categoría O

En la teoría de representaciones de álgebras de Lie semisimples , la categoría O (o categoría ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ) es una categoría cuyos objetos son ciertas representaciones de un álgebra de Lie semisimple y los morfismos son homomorfismos de representaciones.

Introducción

Supóngase que es un álgebra de Lie semisimple (normalmente compleja ) con una subálgebra de Cartan , es un sistema de raíces y es un sistema de raíces positivas . Denotemos por el espacio de raíces correspondiente a una raíz y una subálgebra nilpotente . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}:=\bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

Si es un módulo y , entonces es el espacio de pesos ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle M_{\lambda }}$

${\displaystyle M_{\lambda }=\{v\in M:\forall h\in {\mathfrak {h}}\,\,h\cdot v=\lambda (h)v\}.}$

Definición de la categoría O

Los objetos de la categoría son -módulos tales que ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$

1. ${\displaystyle M}$se genera finitamente
2. ${\displaystyle M=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}M_{\lambda }}$
3. ${\displaystyle M}$es localmente -finito. Es decir, para cada , el -módulo generado por es de dimensión finita. ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle v\in M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle v}$

Los morfismos de esta categoría son los -homomorfismos de estos módulos. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Propiedades básicas

• Cada módulo de una categoría O tiene espacios de peso de dimensión finita .
• Cada módulo de la categoría O es un módulo noetheriano .
• O es una categoría abeliana
• O tiene suficientes proyectivas e inyectivas .
• O es cerrado tomando submódulos , cocientes y sumas directas finitas.
• Los objetos en O son -finitos, es decir, si es un objeto y , entonces el subespacio generado por bajo la acción del centro del álgebra envolvente universal , es de dimensión finita. ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v\in M}$ ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})v\subseteq M}$ ${\displaystyle v}$

Ejemplos

• Todos los -módulos de dimensión finita y sus -homomorfismos están en la categoría O. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Los módulos de Verma y los módulos de Verma generalizados y sus -homomorfismos están en la categoría O. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Véase también

• Módulo de mayor peso
• Álgebra envolvente universal
• Categoría de mayor peso

Referencias

• Humphreys, James E. (2008), Representaciones de álgebras de Lie semisimples en la categoría O de BGG (PDF) , AMS, ISBN 978-0-8218-4678-0, archivado desde el original (PDF) el 21 de marzo de 2012