En matemáticas, las representaciones admisibles son una clase de representaciones de buen comportamiento utilizadas en la teoría de la representación de grupos de Lie reductivos y grupos localmente compactos totalmente desconectados . Fueron presentados por Harish-Chandra .
Sea G un grupo de Lie reductivo (real o complejo) conexo. Sea K un subgrupo compacto máximo. Una representación continua (π, V ) de G en un espacio de Hilbert complejo V [1] se considera admisible si π restringido a K es unitario y cada representación unitaria irreducible de K ocurre en él con multiplicidad finita. El ejemplo prototípico es el de una representación unitaria irreducible de G .
Una representación admisible π induce un módulo que es más fácil de manejar ya que es un objeto algebraico. Se dice que dos representaciones admisibles son infinitamente equivalentes si sus módulos asociados son isomórficos. Aunque para las representaciones generales admisibles esta noción es diferente de la equivalencia habitual, es un resultado importante que las dos nociones de equivalencia concuerden para las representaciones unitarias (admisibles). Además, existe una noción de unitaridad de módulos. Esto reduce el estudio de las clases de equivalencia de representaciones unitarias irreducibles de G al estudio de clases de equivalencia infinitesimales de representaciones admisibles y la determinación de cuáles de estas clases son infinitamente unitarias. El problema de parametrizar las clases de equivalencia infinitesimales de representaciones admisibles fue resuelto completamente por Robert Langlands y se denomina clasificación de Langlands .
Sea G un grupo localmente compacto totalmente desconectado (como un grupo algebraico reductivo sobre un campo local no arquimediano o sobre los adeles finitos de un campo global ). Una representación (π, V ) de G en un espacio vectorial complejo V se llama suave si el subgrupo de G que fija cualquier vector de V es abierto . Si, además, el espacio de vectores fijado por cualquier subgrupo abierto compacto es de dimensión finita, entonces π se llama admisible . Las representaciones admisibles de grupos p -ádicos admiten una descripción más algebraica mediante la acción del álgebra de Hecke de funciones localmente constantes sobre G .
Casselman , Bernstein y Zelevinsky emprendieron estudios profundos sobre las representaciones admisibles de grupos reductivos p -ádicos en los años setenta. Se lograron avances más recientemente [ ¿cuándo? ] de Howe , Moy, Gopal Prasad y Bushnell y Kutzko, quienes desarrollaron una teoría de tipos y clasificaron el dual admisible (es decir, el conjunto de clases de equivalencia de representaciones admisibles irreducibles) en muchos casos. [ cita necesaria ]
