Grupo localmente lucrativo

En matemáticas, un grupo localmente finito es un grupo topológico de Hausdorff en el que cada vecindad del elemento de identidad contiene un subgrupo abierto compacto . De manera equivalente, un grupo localmente rentable es un grupo topológico de Hausdorff , localmente compacto y totalmente desconectado . Además, un grupo localmente lucrativo es compacto si y sólo si es lucrativo ; esto explica la terminología. Ejemplos básicos de grupos localmente lucrativos son los grupos discretos y los grupos de Lie p -ádicos . Los no ejemplos son grupos de Lie reales , que tienen la propiedad de subgrupo no pequeño .

En un grupo localmente lucrativo, un subgrupo cerrado es localmente lucrativo y cada subgrupo compacto está contenido en un subgrupo compacto abierto.

Ejemplos

Ejemplos importantes de grupos localmente lucrativos provienen de la teoría algebraica de números . Sea F un campo local no arquimediano . Entonces tanto F como son localmente lucrativos. De manera más general, el anillo matricial y el grupo lineal general son localmente finitos. Otro ejemplo de un grupo localmente profinito es el grupo Weil absoluto de un campo local no arquímedes: esto contrasta con el hecho de que el grupo absoluto de Galois de los mismos es profinito (en particular compacto). ${\displaystyle F^{\times }}$ ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(F)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(F)}$

Representaciones de un grupo localmente lucrativo.

Sea G un grupo localmente lucrativo. Entonces un homomorfismo de grupo es continuo si y sólo si tiene núcleo abierto. ${\displaystyle \psi :G\to \mathbb {C} ^{\times }}$

Sea una representación compleja de G . Se dice que ^[1] es suave si V es una unión de donde K recorre todos los subgrupos compactos abiertos K. se dice que es admisible si es suave y de dimensión finita para cualquier subgrupo compacto abierto K. ${\displaystyle (\rho ,V)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V^{K}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V^{K}}$

Ahora hacemos una suposición general que es , como máximo, contable para todos los subgrupos compactos abiertos K. ${\displaystyle G/K}$

El espacio dual lleva la acción de G dada por . En general, no es fácil. Por lo tanto, establecemos dónde actúa y establecemos . La representación suave se llama entonces contragrediente o dual suave de . ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle \left\langle \rho ^{*}(g)\alpha ,v\right\rangle =\left\langle \alpha ,\rho ^{*}(g^{-1})v\right\rangle }$ ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle {\widetilde {V}}=\bigcup _{K}(V^{*})^{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\rho }}=\rho ^{*}}$ ${\displaystyle ({\widetilde {\rho }},{\widetilde {V}})}$ ${\displaystyle (\rho ,V)}$

El funtor contravariante

${\displaystyle (\rho ,V)\mapsto ({\widetilde {\rho }},{\widetilde {V}})}$

de la categoría de representaciones suaves de G a sí mismo es exacto. Además, los siguientes son equivalentes.

• ${\displaystyle \rho }$es admisible.
• ${\displaystyle {\widetilde {\rho }}}$es admisible. ^[2]
• El mapa canónico del módulo G es un isomorfismo. ${\displaystyle \rho \to {\widetilde {\widetilde {\rho }}}}$

Cuando es admisible, es irreductible si y sólo si es irreductible. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\widetilde {\rho }}}$

El supuesto de contabilización al principio es realmente necesario, ya que existe un grupo localmente rentable que admite una representación uniforme e irreducible que no es irreducible. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\widetilde {\rho }}}$

Álgebra de Hecke de un grupo localmente finito

Sea un grupo unimodular localmente finito tal que sea como máximo contable para todos los subgrupos compactos abiertos K , y una medida de Haar izquierda en . Denotemos el espacio de funciones localmente constantes con soporte compacto. Con la estructura multiplicativa dada por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/K}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(G)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (f*h)(x)=\int _{G}f(g)h(g^{-1}x)d\mu (g)}$

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(G)}$se convierte no necesariamente en álgebra asociativa unitaria. Se llama álgebra de Hecke de G y se denota por . El álgebra juega un papel importante en el estudio de representaciones fluidas de grupos localmente finitos. De hecho, se tiene lo siguiente: dada una representación fluida de G , definimos una nueva acción en V : ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}(G)}$ ${\displaystyle (\rho ,V)}$

${\displaystyle \rho (f)=\int _{G}f(g)\rho (g)d\mu (g).}$

Por lo tanto, tenemos el functor de la categoría de representaciones suaves de a la categoría de módulos no degenerados . Aquí, "no degenerado" significa . Entonces el hecho es que el funtor es una equivalencia. ^[3] ${\displaystyle \rho \mapsto \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}(G)}$ ${\displaystyle \rho ({\mathfrak {H}}(G))V=V}$

Notas

1. No ponemos una topología en V ; entonces no hay ninguna condición topológica en la representación.
2. Blondel, Corolario 2.8.
3. Blondel, Proposición 2.16.

Referencias

• Corinne Blondel, Teoría básica de la representación de grupos p-ádicos reductivos.
• Bushnell, Colin J .; Henniart, Guy (2006), La conjetura local de Langlands para GL(2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 335, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/3-540-31511-X, ISBN 978-3-540-31486-8, señor  2234120
• Milne, James S. (1988), Modelos canónicos de variedades (mixtas) de Shimura y paquetes de vectores automórficos , MR  1044823