Grupo totalmente desconectado

En matemáticas , un grupo totalmente desconectado es un grupo topológico que está totalmente desconectado . Tales grupos topológicos son necesariamente Hausdorff .

El interés se centra en grupos localmente compactos totalmente desconectados (denominados de diversas formas grupos de tipo td , ^[1] grupos localmente lucrativos , ^[2] o grupos td ^[3] ). El caso compacto ha sido profundamente estudiado –estos son los grupos profinitos– pero durante mucho tiempo no se supo mucho sobre el caso general. Todo lo que se conocía era un teorema de van Dantzig ^[4] de la década de 1930, que afirmaba que cada grupo contiene un subgrupo abierto compacto. Luego, el trabajo innovador de George Willis en 1994 abrió el campo al mostrar que cada grupo localmente compacto totalmente desconectado contiene un llamado subgrupo ordenado y una función especial en sus automorfismos , la función de escala , que proporciona un parámetro cuantificable para la estructura local. Caprace y Monod obtuvieron avances sobre la estructura global de grupos totalmente desconectados en 2011 , destacando una clasificación de grupos característicamente simples y de grupos noetherianos .

Caso localmente compacto

En un grupo localmente compacto y totalmente desconectado, cada barrio de la identidad contiene un subgrupo abierto compacto. Por el contrario, si un grupo es tal que la identidad tiene una base de vecindad que consiste en subgrupos abiertos compactos, entonces es localmente compacto y totalmente desconectado. ^[2]

Subgrupos ordenados

Sea G un grupo localmente compacto y totalmente desconectado, U un subgrupo abierto compacto de G y un automorfismo continuo de G. ${\displaystyle \alpha }$

Definir:

${\displaystyle U_{+}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U)}$

${\displaystyle U_{-}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U)}$

${\displaystyle U_{++}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U_{+})}$

${\displaystyle U_{--}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U_{-})}$

Se dice que U está ordenado si y sólo si y y están cerrados. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle U=U_{+}U_{-}=U_{-}U_{+}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle U_{--}}$

La función de escala

Se muestra que el índice de in es finito e independiente de la U que es ordenada para . Defina la función de escala como este índice. La restricción a los automorfismos internos da una función en G con propiedades interesantes. Estos son en particular: Definir la función en G por , donde es el automorfismo interno de en G . ${\displaystyle \alpha (U_{+})}$ ${\displaystyle U_{+}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle s(\alpha )}$
${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x):=s(\alpha _{x})}$ ${\displaystyle \alpha _{x}}$ ${\displaystyle x}$

Propiedades

• ${\displaystyle s}$es continuo.
• ${\displaystyle s(x)=1}$, siempre que x en G sea un elemento compacto.
• ${\displaystyle s(x^{n})=s(x)^{n}}$para cada número entero no negativo . ${\displaystyle n}$
• La función modular en G viene dada por . ${\displaystyle \Delta (x)=s(x)s(x^{-1})^{-1}}$

Cálculos y aplicaciones.

La función de escala se utilizó para probar una conjetura de Hofmann y Mukherja y Helge Glöckner la calculó explícitamente para grupos de Lie p-ádicos y grupos lineales sobre campos sesgados locales.

Notas

1. Cartier 1979, §1.1
2. Bushnell y Henniart 2006, §1.1
3. Borel y Wallach 2000, Capítulo X
4. van Dantzig 1936, pág. 411

Referencias

• van Dantzig, David (1936), "Zur topologischen Algebra. III. Brouwersche und Cantorsche Gruppen", Compositio Mathematica , 3 : 408–426
• Borel, Armand ; Wallach, Nolan (2000), Cohomología continua, subgrupos discretos y representaciones de grupos reductivos , Estudios y monografías matemáticas, vol. 67 (Segunda ed.), Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-0851-1, señor  1721403
• Bushnell, Colin J.; Henniart, Guy (2006), La conjetura local de Langlands para GL(2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 335, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/3-540-31511-X, ISBN 978-3-540-31486-8, señor  2234120
• Caprace, Pierre-Emmanuel; Monod, Nicolas (2011), "Descomposición de grupos localmente compactos en piezas simples", Math. Proc. Filosofía de Cambridge. Soc. , 150 : 97–128, arXiv : 0811.4101 , Bibcode : 2011MPCPS.150...97C, doi : 10.1017/S0305004110000368, SEÑOR  2739075
• Cartier, Pierre (1979), "Representaciones de grupos -ádicos: una encuesta", en Borel, Armand ; Casselman, William (eds.), Formas, representaciones y funciones L automórficas (PDF) , Actas de simposios en matemáticas puras, vol. 33, Parte 1, Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 111-155, ISBN ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 978-0-8218-1435-2, señor  0546593
• GA Willis - La estructura de grupos localmente compactos y totalmente desconectados, Mathematische Annalen 300, 341-363 (1994)