Doble representación

Representación del grupo

En matemáticas , si G es un grupo y ρ es una representación lineal del mismo en el espacio vectorial V , entonces la representación dual ρ* se define sobre el espacio vectorial dual V * de la siguiente manera: ^{[1] [2]}

ρ*( g ) es la transpuesta de ρ( g ⁻¹ ) , es decir, ρ*( g ) = ρ( g ⁻¹ ) ^T para todo g ∈ G .

La representación dual también se conoce como representación contragrediente .

Si g es un álgebra de Lie y π es una representación de ella en el espacio vectorial V , entonces la representación dual π* se define sobre el espacio vectorial dual V * de la siguiente manera: ^[3]

π*( X ) = −π( X ) ^T para todo X ∈ g .

La motivación para esta definición es que la representación del álgebra de Lie asociada al dual de una representación de grupo de Lie se calcula mediante la fórmula anterior. Pero la definición del dual de una representación de álgebra de Lie tiene sentido incluso si no proviene de una representación de grupo de Lie.

En ambos casos, la representación dual es una representación en el sentido habitual.

Propiedades

Irreductibilidad y segundo dual.

Si una representación (de dimensión finita) es irreducible, entonces la representación dual también es irreducible ^[4] , pero no necesariamente isomorfa a la representación original. Por otro lado, el dual del dual de cualquier representación es isomorfo a la representación original.

Representaciones unitarias

Considere una representación unitaria de un grupo y trabajemos en forma ortonormal. Por tanto, se asigna al grupo de matrices unitarias. Entonces la transpuesta abstracta en la definición de representación dual puede identificarse con la transpuesta matricial ordinaria. Dado que el adjunto de una matriz es el conjugado complejo de la transpuesta, la transpuesta es el conjugado del adjunto. Así, es el conjugado complejo del adjunto del inverso de . Pero como se supone que es unitario, el adjunto del inverso de es justo . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho ^{\ast }(g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$

El resultado de esta discusión es que cuando se trabaja con representaciones unitarias en forma ortonormal, es solo el conjugado complejo de . ${\displaystyle \rho ^{*}(g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$

Los casos SU(2) y SU(3)

En la teoría de la representación de SU(2), el dual de cada representación irreducible resulta ser isomorfo a la representación. Pero para las representaciones de SU(3) , el dual de la representación irreducible con etiqueta es la representación irreducible con etiqueta . ^[5] En particular, la representación tridimensional estándar de SU(3) (con mayor peso ) no es isomorfa a su dual. En la teoría de los quarks en la literatura de física, la representación estándar y su dual se denominan " " y " ." ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (m_{2},m_{1})}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {\bar {3}}}$

Dos representaciones duales no isomorfas de SU(3), con pesos más altos (1,2) y (2,1)

Álgebras generales de Lie semisimples

De manera más general, en la teoría de representación de álgebras de Lie semisimples (o la teoría de representación estrechamente relacionada de grupos compactos de Lie ), los pesos de la representación dual son los negativos de los pesos de la representación original. ^[6] (Ver la figura.) Ahora, para un álgebra de Lie dada, si sucediera que el operador es un elemento del grupo de Weyl , entonces los pesos de cada representación son automáticamente invariantes bajo el mapa . Para tales álgebras de Lie, cada representación irreducible será isomorfa a su dual. (Ésta es la situación para SU(2), donde el grupo de Weyl es .) Las álgebras de Lie con esta propiedad incluyen las álgebras de Lie ortogonales impares (tipo ) y las álgebras de Lie simplécticas (tipo ). ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle \mu \mapsto -\mu }$ ${\displaystyle \{I,-I\}}$ ${\displaystyle \operatorname {so} (2n+1;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {sp} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle C_{n}}$

Si, para un álgebra de Lie dada, no está en el grupo de Weyl, entonces el dual de una representación irreducible generalmente no será isomorfo a la representación original. Para entender cómo funciona esto, observamos que siempre hay un elemento único del grupo Weyl que asigna el negativo de la cámara de Weyl fundamental a la cámara de Weyl fundamental. Entonces si tenemos una representación irreducible con mayor peso , el peso más bajo de la representación dual será . De ello se deduce que el peso más alto de la representación dual será . ^[7] Como suponemos que no está en el grupo Weyl, no puede estarlo , lo que significa que el mapa no es la identidad. Por supuesto, aún puede suceder que para ciertas elecciones especiales de , tengamos . La representación adjunta, por ejemplo, siempre es isomorfa a su dual. ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\mu }$ ${\displaystyle w_{0}\cdot (-\mu )\,}$ ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle \mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =w_{0}\cdot (-\mu )}$

En el caso de SU(3) (o su álgebra de Lie complejada ), podemos elegir una base que consta de dos raíces en un ángulo de 120 grados, de modo que la tercera raíz positiva sea . En este caso, el elemento es la reflexión sobre la recta perpendicular a . Entonces el mapa es la reflexión sobre la línea que pasa por . ^[8] Las representaciones autoduales son entonces las que se encuentran a lo largo de la línea que pasa por . Estas son las representaciones con etiquetas de la forma , que son las representaciones cuyos diagramas de pesos son hexágonos regulares . ${\displaystyle \operatorname {sl} (3;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle \mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle (m,m)}$

Motivación

En la teoría de la representación, tanto los vectores en V como los funcionales lineales en V * se consideran vectores columna para que la representación pueda actuar (mediante multiplicación de matrices) desde la izquierda . Dada una base para V y la base dual para V * , la acción de un funcional lineal φ sobre v , φ(v) se puede expresar mediante multiplicación de matrices,

${\displaystyle \langle \varphi ,v\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v}$,

donde el superíndice T es la transposición matricial. La coherencia requiere

${\displaystyle \langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \varphi ,v\rangle .}$^[9]

Con la definición dada,

${\displaystyle \langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \rho (g^{-1})^{T}\varphi ,\rho (g)v\rangle =(\rho (g^{-1})^{T}\varphi )^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho (g^{-1})\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\langle \varphi ,v\rangle .}$

Para la representación del álgebra de Lie se elige la coherencia con una posible representación de grupo. Generalmente, si Π es una representación de un grupo de Lie, entonces π dado por

${\displaystyle \pi (X)={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{tX})|_{t=0}.}$

es una representación de su álgebra de Lie. Si Π* es dual con Π , entonces su correspondiente representación del álgebra de Lie π* viene dada por

${\displaystyle \pi ^{*}(X)={\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}(e^{tX})|_{t=0}={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{-tX})^{T}|_{t=0}=-\pi (X)^{T}.}$   ^[10]

Ejemplo

Considere el grupo de números complejos de valor absoluto 1. Las representaciones irreducibles son todas unidimensionales, como consecuencia del lema de Schur . Las representaciones irreducibles están parametrizadas por números enteros y dadas explícitamente como ${\displaystyle G=U(1)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \rho _{n}(e^{i\theta })=[e^{in\theta }].}$

La representación dual es entonces la inversa de la transpuesta de esta matriz uno por uno, es decir, ${\displaystyle \rho _{n}}$

${\displaystyle \rho _{n}^{*}(e^{i\theta })=[e^{-in\theta }]=\rho _{-n}(e^{i\theta }).}$

Es decir, el dual de la representación es . ${\displaystyle \rho _{n}}$ ${\displaystyle \rho _{-n}}$

Generalización

Un módulo de anillo general no admite una representación dual. Sin embargo, los módulos de álgebras de Hopf sí lo hacen.

Ver también

• Representación conjugada compleja
• Producto tensorial de representaciones.
• Fórmula del personaje de Kirillov

Referencias

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.

1. Conferencia 1 de Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.
2. Salón 2015 Sección 4.3.3
3. Conferencia 8 de Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.
4. Salón 2015 Ejercicio 6 del Capítulo 4
5. Salón 2015 Ejercicio 3 del Capítulo 6
6. Salón 2015 Ejercicio 10 del Capítulo 10
7. Salón 2015 Ejercicio 10 del Capítulo 10
8. Salón 2015 Ejercicio 3 del Capítulo 6
9. Conferencia 1, página 4 de Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.
10. Conferencia 8, página 111 de Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.