anillo G

En álgebra conmutativa , un anillo G o un anillo de Grothendieck es un anillo noetheriano tal que el mapa de cualquiera de sus anillos locales hasta su finalización es regular (definido a continuación). Casi todos los anillos noetherianos que aparecen naturalmente en la geometría algebraica o la teoría de números son anillos G, y es bastante difícil construir ejemplos de anillos noetherianos que no sean anillos G. El concepto lleva el nombre de Alexander Grothendieck .

Un anillo que es a la vez anillo G y anillo J-2 se llama anillo cuasi-excelente , y si además es universalmente catenario se llama anillo excelente .

Definiciones

• Un anillo (noetheriano) R que contiene un campo k se llama geométricamente regular sobre k si para cualquier extensión finita K de k el anillo R  ⊗ _k  K es un anillo regular .
• Un homomorfismo de anillos de R a S se llama regular si es plano y para cada p  ∈ Spec( R ) la fibra S  ⊗ _R  k ( p ) es geométricamente regular sobre el campo residuo k ( p ) de p . (ver también el teorema de Popescu ).
• Un anillo se llama anillo G local si es un anillo local noetheriano y el mapa hasta su finalización (con respecto a su ideal máximo ) es regular.
• Un anillo se llama anillo G si es noetheriano y todas sus localizaciones en ideales primos son anillos G locales. (Es suficiente comprobar esto sólo para los ideales máximos, por lo que, en particular, los anillos G locales son anillos G).

Ejemplos

• Cada campo es un anillo G
• Cada anillo local noetheriano completo es un anillo G
• Cada anillo de series de potencias convergentes en un número finito de variables sobre R o C es un anillo G.
• Cada dominio de Dedekind en la característica 0, y en particular el anillo de números enteros , es un anillo G, pero en la característica positiva hay dominios de Dedekind (e incluso anillos de valoración discretos ) que no son anillos G.
• Cada localización de un anillo G es un anillo G
• Cada álgebra generada finitamente sobre un anillo G es un anillo G. Este es un teorema debido a Grothendieck.

A continuación se muestra un ejemplo de un anillo de valoración discreto A de característica p >0 que no es un anillo G. Si k es cualquier campo de característica p con [ k  : k ^p ] = ∞ y R = k [[ x ]] y A es el subanillo de la serie de potencias Σ a _i x ⁱ tal que [ k ^p ( a ₀ , a ₁ ,...) : k ^p ] es finita, entonces la fibra formal de A sobre el punto genérico no es geométricamente regular, por lo que A no es un anillo G. Aquí k ^p denota la imagen de k bajo el morfismo de Frobenius a → a ^p .

Referencias

• A. Grothendieck, J. Dieudonné, Eléments de géométrie algébrique IV Publ. Matemáticas. IHÉS 24 (1965), artículo 7
• H. Matsumura, Álgebra conmutativa ISBN  0-8053-7026-9 , capítulo 13.