Endomorfismo de Frobenius

En un anillo con característica prima p, el mapa eleva los elementos a la p-ésima potencia

En álgebra conmutativa y teoría de campos , el endomorfismo de Frobenius (en honor a Ferdinand Georg Frobenius ) es un endomorfismo especial de anillos conmutativos con característica prima p , una clase importante que incluye cuerpos finitos . El endomorfismo asigna cada elemento a su p -ésima potencia. En ciertos contextos es un automorfismo , pero esto no es cierto en general.

Definición

Sea R un anillo conmutativo con característica prima p (un dominio integral de característica positiva siempre tiene característica prima, por ejemplo). El endomorfismo de Frobenius F se define por

${\displaystyle F(r)=r^{p}}$

para todo r en R . Respeta la multiplicación de R :

${\displaystyle F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),}$

y F (1) es 1 también. Además, también respeta la adición de R . La expresión ( r + s ) ^p se puede desarrollar utilizando el teorema binomial . Como p es primo, divide a p ! pero no a cualquier q ! para q < p ; por lo tanto, dividirá el numerador , pero no el denominador , de la fórmula explícita de los coeficientes binomiales

${\displaystyle {\frac {p!}{k!(p-k)!}},}$

si 1 ≤ k ≤ p − 1 . Por lo tanto, los coeficientes de todos los términos excepto r ^p y s ^p son divisibles por p , y por lo tanto se anulan. ^[1] Por lo tanto

${\displaystyle F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s).}$

Esto demuestra que F es un homomorfismo de anillo .

Si φ  : R → S es un homomorfismo de anillos de característica p , entonces

${\displaystyle \varphi (x^{p})=\varphi (x)^{p}.}$

Si F _R y F _S son los endomorfismos de Frobenius de R y S , entonces esto puede reescribirse como:

${\displaystyle \varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi .}$

Esto significa que el endomorfismo de Frobenius es una transformación natural del funtor identidad en la categoría de anillos característicos p hacia sí mismo.

Si el anillo R es un anillo sin elementos nilpotentes , entonces el endomorfismo de Frobenius es inyectivo : F ( r ) = 0 significa r ^p = 0 , lo que por definición significa que r es nilpotente de orden p como máximo . De hecho, esto es necesario y suficiente, porque si r es cualquier nilpotente, entonces una de sus potencias será nilpotente de orden p como máximo . En particular, si R es un cuerpo, entonces el endomorfismo de Frobenius es inyectivo.

El morfismo de Frobenius no es necesariamente sobreyectivo , incluso cuando R es un cuerpo. Por ejemplo, sea K = F _p ( t ) el cuerpo finito de p elementos junto con un único elemento trascendental ; equivalentemente, K es el cuerpo de funciones racionales con coeficientes en F _p . Entonces la imagen de F no contiene a t . Si lo hiciera, entonces habría una función racional q ( t )/ r ( t ) cuya p -ésima potencia q ( t ) ^p / r ( t ) ^p sería igual a t . Pero el grado de esta p -ésima potencia (la diferencia entre los grados de su numerador y denominador) es p grado( q ) − p grado( r ) , que es un múltiplo de p . En particular, no puede ser 1, que es el grado de t . Esto es una contradicción; por lo tanto, t no está en la imagen de F .

Un cuerpo K se llama perfecto si es de característica cero o de característica positiva y su endomorfismo de Frobenius es un automorfismo. Por ejemplo, todos los cuerpos finitos son perfectos.

Puntos fijos del endomorfismo de Frobenius

Consideremos el cuerpo finito F _p . Por el pequeño teorema de Fermat , cada elemento x de F _p satisface x ^p = x . Equivalentemente, es una raíz del polinomio X ^p − X . Los elementos de F _p determinan, por lo tanto, p raíces de esta ecuación, y como esta ecuación tiene grado p, no tiene más que p raíces sobre cualquier extensión . En particular, si K es una extensión algebraica de F _p (como la clausura algebraica u otro cuerpo finito), entonces F _p es el cuerpo fijo del automorfismo de Frobenius de K .

Sea R un anillo de característica p > 0 . Si R es un dominio íntegro, entonces por el mismo razonamiento, los puntos fijos de Frobenius son los elementos del cuerpo primo. Sin embargo, si R no es un dominio, entonces X ^p − X puede tener más de p raíces; por ejemplo, esto sucede si R = F _p × F _p .

Una propiedad similar se disfruta en el cuerpo finito por el n -ésimo iterado del automorfismo de Frobenius: cada elemento de es una raíz de , por lo que si K es una extensión algebraica de y F es el automorfismo de Frobenius de K , entonces el cuerpo fijo de F ⁿ es . Si R es un dominio que es un -álgebra, entonces los puntos fijos del n -ésimo iterado de Frobenius son los elementos de la imagen de . ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle X^{p^{n}}-X}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$

Iterando el mapa de Frobenius se obtiene una secuencia de elementos en R :

${\displaystyle x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .}$

Esta secuencia de iteraciones se utiliza para definir el cierre de Frobenius y el cierre estricto de un ideal.

Como generador de grupos de Galois

El grupo de Galois de una extensión de cuerpos finitos se genera mediante una iteración del automorfismo de Frobenius. Primero, considere el caso donde el cuerpo fundamental es el cuerpo primo F _p . Sea F _q el cuerpo finito de q elementos, donde q = p ⁿ . El automorfismo de Frobenius F de F _q fija el cuerpo primo F _p , por lo que es un elemento del grupo de Galois Gal( F _q / F _p ) . De hecho, como es cíclico con q − 1 elementos , sabemos que el grupo de Galois es cíclico y F es un generador. El orden de F es n porque F ^j actúa sobre un elemento x enviándolo a x ^{p j} , y solo puede tener muchas raíces, ya que estamos en un cuerpo. Todo automorfismo de F _q es una potencia de F , y los generadores son las potencias F ⁱ con i coprimo a n . ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}^{\times }}$ ${\displaystyle x^{p^{j}}=x}$ ${\displaystyle p^{j}}$

Consideremos ahora el cuerpo finito F _{q ^f} como una extensión de F _q , donde q = p ⁿ como se indicó anteriormente. Si n > 1 , entonces el automorfismo de Frobenius F de F _{q ^f} no fija el cuerpo fundamental F _q , pero su iteración n º F ⁿ sí lo hace. El grupo de Galois Gal( F _{q ^f}  / F _q ) es cíclico de orden f y es generado por F ⁿ . Es el subgrupo de Gal( F _{q ^f}  / F _p ) generado por F ⁿ . Los generadores de Gal( F _{q ^f}  / F _q ) son las potencias F ⁿⁱ donde i es coprimo de f .

El automorfismo de Frobenius no es un generador del grupo absoluto de Galois

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),}$

porque este grupo de Galois es isomorfo a los enteros profinitos

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ,}$

que no son cíclicos. Sin embargo, debido a que el automorfismo de Frobenius es un generador del grupo de Galois de cada extensión finita de F _q , es un generador de cada cociente finito del grupo de Galois absoluto. En consecuencia, es un generador topológico en la topología de Krull habitual sobre el grupo de Galois absoluto.

Frobenius para esquemas

Existen varias formas diferentes de definir el morfismo de Frobenius para un esquema . La más fundamental es el morfismo de Frobenius absoluto. Sin embargo, el morfismo de Frobenius absoluto se comporta mal en la situación relativa porque no presta atención al esquema base. Existen varias formas diferentes de adaptar el morfismo de Frobenius a la situación relativa, cada una de las cuales es útil en ciertas situaciones.

Sea φ : X → S un morfismo de esquemas, y denotemos los morfismos absolutos de Frobenius de S y X por F _S y F _X , respectivamente. Definamos X ^{( p )} como el cambio de base de X por F _S . Entonces el diagrama anterior conmuta y el cuadrado es cartesiano . El morfismo F _{X / S} es Frobenius relativo.

El morfismo absoluto de Frobenius

Supóngase que X es un esquema de característica p > 0 . Elija un subconjunto afín abierto U = Spec A de X . El anillo A es un F _p -álgebra, por lo que admite un endomorfismo de Frobenius. Si V es un subconjunto afín abierto de U , entonces por la naturalidad de Frobenius, el morfismo de Frobenius sobre U , cuando se restringe a V , es el morfismo de Frobenius sobre V . En consecuencia, el morfismo de Frobenius se une para dar un endomorfismo de X . Este endomorfismo se denomina morfismo absoluto de Frobenius de X , denotado F _X . Por definición, es un homeomorfismo de X consigo mismo. El morfismo absoluto de Frobenius es una transformación natural del funtor identidad sobre la categoría de F _p -esquemas hacia sí mismo.

Si X es un S -esquema y el morfismo de Frobenius de S es la identidad, entonces el morfismo absoluto de Frobenius es un morfismo de S -esquemas. Sin embargo, en general no lo es. Por ejemplo, considere el anillo . Sea que X y S sean ambos iguales a Spec A con la función de estructura X → S siendo la identidad. El morfismo de Frobenius en A envía a a a ^p . No es un morfismo de -álgebras. Si lo fuera, entonces multiplicar por un elemento b en conmutaría con la aplicación del endomorfismo de Frobenius. Pero esto no es cierto porque: ${\displaystyle A=\mathbf {F} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$

${\displaystyle b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.}$

La primera es la acción de b en la estructura del álgebra con la que comienza A , y la segunda es la acción de inducida por Frobenius. En consecuencia, el morfismo de Frobenius en Spec A no es un morfismo de esquemas. ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$

El morfismo absoluto de Frobenius es un morfismo puramente inseparable de grado p . Su diferencial es cero. Conserva los productos, es decir, para dos esquemas cualesquiera X e Y , F _{X × Y} = F _X × F _Y.

Restricción y extensión de escalares por Frobenius

Supóngase que φ  : X → S es el morfismo de estructura para un S -esquema X . El esquema base S tiene un morfismo de Frobenius F _S . La composición de φ con F _S da como resultado un S -esquema X _F llamado restricción de escalares por Frobenius . La restricción de escalares es en realidad un funtor, porque un S -morfismo X → Y induce un S -morfismo X _F → Y _F .

Por ejemplo, considere un anillo A de característica p > 0 y un álgebra presentada finitamente sobre A :

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}$

La acción de A sobre R viene dada por:

${\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha },}$

donde α es un multiíndice. Sea X = Spec R . Entonces X _F es el esquema afín Spec R , pero su morfismo de estructura Spec R → Spec A , y por lo tanto la acción de A sobre R , es diferente:

${\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.}$

Como la restricción de escalares por Frobenius es simplemente composición, muchas propiedades de X son heredadas por X _F bajo hipótesis apropiadas sobre el morfismo de Frobenius. Por ejemplo, si X y S _F son ambos de tipo finito, entonces también lo es X _F .

La extensión de los escalares de Frobenius se define como:

${\displaystyle X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}.}$

La proyección sobre el factor S hace que X ^{( p )} sea un S -esquema. Si S no queda claro en el contexto, entonces X ^{( p )} se denota por X ^{( p / S )} . Al igual que la restricción de escalares, la extensión de escalares es un funtor: un S -morfismo X → Y determina un S -morfismo X ^{( p )} → Y ^{( p )} .

Como antes, considere un anillo A y un álgebra finitamente presentada R sobre A , y nuevamente sea X = Spec R . Entonces:

${\displaystyle X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.}$

Una sección global de X ^{( p )} tiene la forma:

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},}$

donde α es un multiíndice y cada a _iα y b _i es un elemento de A . La acción de un elemento c de A sobre esta sección es:

${\displaystyle c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.}$

En consecuencia, X ^{( p )} es isomorfo a:

${\displaystyle \operatorname {Spec} A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),}$

donde, si:

${\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },}$

entonces:

${\displaystyle f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }.}$

Una descripción similar se aplica a las A -álgebras arbitrarias R .

Como la extensión de escalares es un cambio de base, conserva límites y coproductos. Esto implica en particular que si X tiene una estructura algebraica definida en términos de límites finitos (como ser un esquema de grupo), entonces también la tiene X ^{( p )} . Además, ser un cambio de base significa que la extensión de escalares conserva propiedades como ser de tipo finito, presentación finita, separado, afín, etc.

La extensión de escalares se comporta bien con respecto al cambio de base: dado un morfismo S ′ → S , existe un isomorfismo natural:

${\displaystyle X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}.}$

Frobenius relativo

Sea X un S -esquema con morfismo de estructura φ . El morfismo relativo de Frobenius de X es el morfismo:

${\displaystyle F_{X/S}:X\to X^{(p)}}$

definida por la propiedad universal del retroceso X ^{( p )} (ver el diagrama anterior):

${\displaystyle F_{X/S}=(F_{X},\varphi ).}$

Dado que el morfismo absoluto de Frobenius es natural, el morfismo relativo de Frobenius es un morfismo de esquemas S.

Consideremos, por ejemplo, el A -álgebra:

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}$

Tenemos:

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}).}$

El morfismo relativo de Frobenius es el homomorfismo R ^{( p )} → R definido por:

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }.}$

El Frobenius relativo es compatible con el cambio de base en el sentido de que, bajo el isomorfismo natural de X ^{( p / S )} × _S S ′ y ( X × _S S ′) ^{( p / S ′)} , tenemos:

${\displaystyle F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}.}$

El Frobenius relativo es un homeomorfismo universal. Si X → S es una inmersión abierta, entonces es la identidad. Si X → S es una inmersión cerrada determinada por un haz ideal I de O _S , entonces X ^{( p )} está determinada por el haz ideal I ^p y el Frobenius relativo es la función de aumentación O _S / I ^p → O _S / I .

X es no ramificado sobre S si y solo si F _{X / S} es no ramificado y si y solo si F _{X / S} es un monomorfismo. X es étale sobre S si y solo si F _{X / S} es étale y si y solo si F _{X / S} es un isomorfismo.

Aritmética de Frobenius

El morfismo aritmético de Frobenius de un S -esquema X es un morfismo:

${\displaystyle F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X}$

definido por:

${\displaystyle F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}.}$

Es decir, es el cambio de base de F _S por 1 _X .

De nuevo, si:

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),}$

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},}$

entonces la aritmética de Frobenius es el homomorfismo:

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }.}$

Si reescribimos R ^{( p )} como:

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),}$

entonces este homomorfismo es:

${\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }.}$

Frobenius geométrico

Supongamos que el morfismo absoluto de Frobenius de S es invertible con inversa . Sea α el esquema S . Entonces hay una extensión de escalares de X por : ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$ ${\displaystyle S_{F^{-1}}}$ ${\displaystyle F_{S}^{-1}:S\to S}$ ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

${\displaystyle X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.}$

Si:

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),}$

Luego, extendiendo los escalares por obtenemos: ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

${\displaystyle R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.}$

Si:

${\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },}$

luego escribimos:

${\displaystyle f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },}$

y luego hay un isomorfismo:

${\displaystyle R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)}).}$

El morfismo geométrico de Frobenius de un S -esquema X es un morfismo:

${\displaystyle F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X}$

definido por:

${\displaystyle F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}.}$

Es el cambio de base de por 1 _X. ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

Continuando con nuestro ejemplo de A y R anterior, el Frobenius geométrico se define como:

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.}$

Después de reescribir R ^{(1/ p )} en términos de , Frobenius geométrico es: ${\displaystyle \{f_{j}^{(1/p)}\}}$

${\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }.}$

Frobenius aritmético y geométrico como acciones de Galois

Supóngase que el morfismo de Frobenius de S es un isomorfismo. Entonces genera un subgrupo del grupo de automorfismos de S . Si S = Spec k es el espectro de un cuerpo finito, entonces su grupo de automorfismos es el grupo de Galois del cuerpo sobre el cuerpo primo, y el morfismo de Frobenius y su inverso son ambos generadores del grupo de automorfismos. Además, X ^{( p )} y X ^{(1/ p )} pueden identificarse con X . Los morfismos de Frobenius aritméticos y geométricos son entonces endomorfismos de X , y por lo tanto conducen a una acción del grupo de Galois de k sobre X .

Consideremos el conjunto de K puntos X ( K ) . Este conjunto viene con una acción de Galois: Cada uno de esos puntos x corresponde a un homomorfismo O _X → K desde el haz de estructura hasta K , que se factoriza a través de k(x) , el cuerpo de residuos en x , y la acción de Frobenius sobre x es la aplicación del morfismo de Frobenius al cuerpo de residuos. Esta acción de Galois concuerda con la acción de Frobenius aritmético: El morfismo compuesto

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\overset {}{F}}}k(x)}$

es lo mismo que el morfismo compuesto:

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {{\overset {}{F}}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)}$

por la definición de la aritmética de Frobenius. En consecuencia, la aritmética de Frobenius muestra explícitamente la acción del grupo de Galois sobre los puntos como un endomorfismo de X .

Frobenius para campos locales

Dada una extensión finita no ramificada L/K de campos locales , existe un concepto de endomorfismo de Frobenius que induce el endomorfismo de Frobenius en la extensión correspondiente de los campos de residuos . ^[2]

Supóngase que L/K es una extensión no ramificada de cuerpos locales, con un anillo de enteros O _K de K tal que el cuerpo de residuos, los enteros de K módulo su ideal máximo único φ , es un cuerpo finito de orden q , donde q es una potencia de un primo. Si Φ es un primo de L que se encuentra sobre φ , que L/K no esté ramificado significa por definición que los enteros de L módulo Φ , el cuerpo de residuos de L , será un cuerpo finito de orden q ^f que extiende el cuerpo de residuos de K donde f es el grado de L / K . Podemos definir la función de Frobenius para elementos del anillo de enteros O _L de L como un automorfismo s _Φ de L tal que

${\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi .}$

Frobenius para campos globales

En la teoría algebraica de números , los elementos de Frobenius se definen para extensiones L / K de cuerpos globales que son extensiones finitas de Galois para ideales primos Φ de L que no están ramificados en L / K . Como la extensión no está ramificada, el grupo de descomposición de Φ es el grupo de Galois de la extensión de cuerpos de residuos. El elemento de Frobenius puede entonces definirse para elementos del anillo de números enteros de L como en el caso local, por

${\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi ,}$

donde q es el orden del campo de residuos O _K /(Φ ∩ O _K ) .

Las elevaciones de Frobenius están en correspondencia con las p-derivaciones .

Ejemplos

El polinomio

x ⁵ − x − 1

tiene discriminante

19 × 151 ,

y por lo tanto no está ramificado en el primo 3; también es irreducible módulo 3. Por lo tanto, adjuntando una raíz ρ de él al cuerpo de números 3 -ádicos Q ₃ se obtiene una extensión no ramificada Q ₃ ( ρ ) de Q ₃ . Podemos encontrar la imagen de ρ bajo la función de Frobenius ubicando la raíz más cercana a ρ ³ , lo que podemos hacer por el método de Newton . Obtenemos un elemento del anillo de números enteros Z ₃ [ ρ ] de esta manera; este es un polinomio de grado cuatro en ρ con coeficientes en los números enteros 3 -ádicos Z ₃ . Módulo 3 ⁸ este polinomio es

${\displaystyle \rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})}$.

Esta es algebraica sobre Q y es la imagen global correcta de Frobenius en términos de la incrustación de Q en Q ₃ ; además, los coeficientes son algebraicos y el resultado se puede expresar algebraicamente. Sin embargo, son de grado 120, el orden del grupo de Galois, lo que ilustra el hecho de que los cálculos explícitos se realizan mucho más fácilmente si los resultados p -ádicos son suficientes.

Si L/K es una extensión abeliana de los cuerpos globales, obtenemos una congruencia mucho más fuerte ya que depende solo del primo φ en el cuerpo base K . Por ejemplo, considere la extensión Q ( β ) de Q obtenida al adjuntar una raíz β que satisface

${\displaystyle \beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0}$

a Q. Esta extensión es cíclica de orden cinco, con raíces

${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}}$

para el entero n . Tiene raíces que son polinomios de Chebyshev de β :

β ² − 2, β ³ − 3 β , β ⁵ − 5 β ³ + 5 β

da el resultado de la función de Frobenius para los primos 2, 3 y 5, y así sucesivamente para primos mayores no iguales a 11 o de la forma 22 n + 1 (que se desdoblan). Es inmediatamente evidente cómo la función de Frobenius da un resultado igual módulo p elevado a la p -ésima potencia de la raíz β .

Véase también

• Campo perfecto
• Frobenioide
• Campo finito § Automorfismo de Frobenius y teoría de Galois
• Homeomorfismo universal

Referencias

1. Esto se conoce como el sueño del estudiante de primer año .
2. Fröhlich, A .; Taylor, MJ (1991). Teoría algebraica de números . Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 27. Cambridge University Press . pág. 144. ISBN. 0-521-36664-X.Zbl 0744.11001  .

• "Automorfismo de Frobenius", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Endomorfismo de Frobenius", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]