Espacio totalmente delimitado

Generalización de la compacidad

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , la acotación total es una generalización de la compacidad para circunstancias en las que un conjunto no es necesariamente cerrado . Un conjunto totalmente acotado puede estar cubierto por un número finito de subconjuntos de cada “tamaño” fijo (donde el significado de “tamaño” depende de la estructura del espacio circundante ).

El término precompacto (o precompacto ) se utiliza a veces con el mismo significado, pero precompacto también se utiliza para significar relativamente compacto . Estas definiciones coinciden para subconjuntos de un espacio métrico completo , pero no en general.

En espacios métricos

[0, 1] ² es un espacio totalmente acotado porque para cada ε > 0, el cuadrado unitario puede ser cubierto por un número finito de discos abiertos de radio ε .

Un espacio métrico está totalmente acotado si y solo si para cada número real , existe una colección finita de bolas abiertas de radio cuyos centros están en M y cuya unión contiene  a M . De manera equivalente, el espacio métrico M está totalmente acotado si y solo si para cada , existe una cubierta finita tal que el radio de cada elemento de la cubierta es como máximo . Esto es equivalente a la existencia de una ε-red finita . ^[1] Se dice que un espacio métrico está totalmente acotado si cada sucesión admite una subsucesión de Cauchy; en espacios métricos completos, un conjunto es compacto si y solo si es cerrado y totalmente acotado. ^[2] ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Todo espacio totalmente acotado está acotado (como lo está la unión de un número finito de conjuntos acotados). Lo inverso es cierto para los subconjuntos del espacio euclidiano (con la topología de subespacio ), pero no en general. Por ejemplo, un conjunto infinito equipado con la métrica discreta está acotado pero no totalmente acotado: ^[3] toda bola discreta de radio o menos es un singleton, y ninguna unión finita de singletons puede cubrir un conjunto infinito. ${\displaystyle \varepsilon =1/2}$

Espacios uniformes (topológicos)

Una métrica aparece en la definición de acotación total sólo para asegurar que cada elemento de la cobertura finita sea de tamaño comparable, y pueda ser debilitado al de una estructura uniforme . Un subconjunto S de un espacio uniforme X está totalmente acotado si y sólo si, para cualquier entorno E , existe una cobertura finita de S por subconjuntos de X cada uno de cuyos cuadrados cartesianos es un subconjunto de E. (En otras palabras, E reemplaza al "tamaño" ε , y un subconjunto es de tamaño E si su cuadrado cartesiano es un subconjunto de E. ) ^[4]

La definición puede extenderse aún más, a cualquier categoría de espacios con una noción de compacidad y completitud de Cauchy : un espacio está totalmente acotado si y sólo si su completitud (de Cauchy) es compacta.

Ejemplos y propiedades elementales

• Todo conjunto compacto está totalmente acotado, siempre que se defina el concepto.
• Todo conjunto totalmente acotado está acotado.
• Un subconjunto de la línea real , o más generalmente del espacio euclidiano de dimensión finita , está totalmente acotado si y sólo si está acotado . ^{[5] [3]}
• La bola unitaria en un espacio de Hilbert , o más generalmente en un espacio de Banach , está totalmente acotada (en la topología normativa) si y sólo si el espacio tiene dimensión finita .
• Las funciones acotadas equicontinuas en un conjunto compacto son precompactas en la topología uniforme ; este es el teorema de Arzelà-Ascoli .
• Un espacio métrico es separable si y sólo si es homeomorfo a un espacio métrico totalmente acotado. ^[3]
• El cierre de un subconjunto totalmente acotado es a su vez totalmente acotado. ^[6]

Comparación con conjuntos compactos

En los espacios métricos, un conjunto es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado; ^[5] sin el axioma de elección sólo se cumple la dirección hacia delante. Los conjuntos precompactos comparten una serie de propiedades con los conjuntos compactos.

• Al igual que los conjuntos compactos, una unión finita de conjuntos totalmente acotados es totalmente acotada.
• A diferencia de los conjuntos compactos, cada subconjunto de un conjunto totalmente acotado es a su vez totalmente acotado.
• La imagen continua de un conjunto compacto es compacta. La imagen uniformemente continua de un conjunto precompacto es precompacta.

En grupos topológicos

Aunque la noción de acotación total está estrechamente ligada a los espacios métricos, la mayor estructura algebraica de los grupos topológicos permite prescindir de algunas propiedades de separación . Por ejemplo, en los espacios métricos, un conjunto es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado. Según la definición que se incluye a continuación, lo mismo se aplica a cualquier espacio vectorial topológico (no necesariamente Hausdorff ni completo). ^{[6] [7] [8]}

La forma lógica general de la definición es: un subconjunto de un espacio está totalmente acotado si y solo si, dado cualquier tamaño, existe una cubierta finita de tal que cada elemento de tiene un tamaño como máximo , entonces está totalmente acotado si y solo si está totalmente acotado cuando se lo considera como un subconjunto de sí mismo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle X}$

Adoptamos la convención de que, para cualquier vecindad de la identidad, un subconjunto se llama ( izquierda ) -pequeño si y sólo si ^[6] Un subconjunto de un grupo topológico es ( izquierda ) totalmente acotado si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (-S)+S\subseteq U.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

1. Definición : Para cualquier vecindad de la identidad existen finitos tales que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\textstyle S\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}\left(x_{j}+U\right):=\left(x_{1}+U\right)+\cdots +\left(x_{n}+U\right).}$
2. Para cualquier vecindad de existe un subconjunto finito tal que (donde el lado derecho es la suma de Minkowski ). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle S\subseteq F+U}$ ${\displaystyle F+U:=\{f+u:f\in F,u\in U\}}$
3. Para cualquier vecindario de existen un número finito de subconjuntos de tales que y cada uno es -pequeño. ^[6] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$ ${\displaystyle B_{j}}$ ${\displaystyle U}$
4. Para cualquier subbase de filtro dada del filtro de vecindad del elemento identidad (que consta de todas las vecindades de en ) y para cada existe una cobertura de por un número finito de subconjuntos -pequeños de ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$
5. ${\displaystyle S}$es Cauchy acotado : para cada vecindad de la identidad y cada subconjunto numerablemente infinito de existen distintos tales que ^[6] (Si es finito entonces esta condición se satisface vacíamente ). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x,y\in I}$ ${\displaystyle x-y\in U.}$ ${\displaystyle S}$
6. Cualquiera de los tres conjuntos siguientes satisface (cualquiera de las definiciones anteriores de) estar (por la izquierda) totalmente acotado:
   1. El cierre de en ^[6] ${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$
      • El hecho de que este conjunto esté en la lista significa que se cumple la siguiente caracterización: está (izquierda) totalmente acotado si y solo si está (izquierda) totalmente acotado (según cualquiera de las condiciones de definición mencionadas anteriormente). La misma caracterización se cumple para los demás conjuntos que se enumeran a continuación. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$
   2. La imagen de bajo el cociente canónico que se define por (donde es el elemento identidad). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\to X/{\overline {\{0\}}},}$ ${\displaystyle x\mapsto x+{\overline {\{0\}}}}$ ${\displaystyle 0}$
   3. La suma ^[9] ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

El término precompacto suele aparecer en el contexto de los espacios vectoriales topológicos de Hausdorff. ^{[10] [11]} En ese caso, las siguientes condiciones también son todas equivalentes a estar totalmente acotado (por la izquierda): ${\displaystyle S}$

7. En la terminación del cierre se compacta. ^{[10] [12]} ${\displaystyle {\widehat {X}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}S}$ ${\displaystyle S}$
8. Cada ultrafiltro es un filtro Cauchy . ${\displaystyle S}$

La definición de derecho totalmente acotado es análoga: simplemente intercambiar el orden de los productos.

La condición 4 implica que cualquier subconjunto de es totalmente acotado (de hecho, compacto; véase § Comparación con conjuntos compactos más arriba). Si no es Hausdorff entonces, por ejemplo, es un conjunto completo compacto que no es cerrado. ^[6] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Espacios vectoriales topológicos

Cualquier espacio vectorial topológico es un grupo topológico abeliano bajo adición, por lo que se aplican las condiciones anteriores. Históricamente, la afirmación 6(a) fue la primera reformulación de la acotación total para espacios vectoriales topológicos ; data de un artículo de 1935 de John von Neumann. ^[13]

Esta definición tiene la atractiva propiedad de que, en un espacio localmente convexo dotado de la topología débil , los conjuntos precompactos son exactamente los conjuntos acotados .

Para los espacios de Banach separables, existe una buena caracterización de los conjuntos precompactos (en la topología normativa) en términos de secuencias de funcionales débilmente convergentes: si es un espacio de Banach separable, entonces es precompacto si y solo si cada secuencia de funcionales débilmente convergente converge uniformemente en ^[14]. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S.}$

Interacción con la convexidad

• La envoltura equilibrada de un subconjunto totalmente acotado de un espacio vectorial topológico está a su vez totalmente acotado. ^{[6] [15]}
• La suma de Minkowski de dos conjuntos compactos (totalmente acotados) es compacta (resp. totalmente acotada).
• En un espacio localmente convexo (Hausdorff), la envoltura convexa y la envoltura discoidal de un conjunto totalmente acotado están totalmente acotadas si y solo si son completas. ^[16] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Véase también

• Espacio compacto
• Espacio localmente compacto
• Medida de no compacidad
• Espacio ortocompacto
• Espacio paracompacto
• Subespacio relativamente compacto

Referencias

1. Sutherland 1975, pág. 139.
2. "Secuencias de Cauchy, completitud y una tercera formulación de compacidad" (PDF) . Departamento de Matemáticas de Harvard .
3. Willard 2004, pág. 182.
4. Willard, Stephen (1970). Loomis, Lynn H. (ed.). Topología general. Reading, Mass.: Addison-Wesley. pág. 262. Cf definición 39.7 y lema 39.8.
5. Kolmogorov, AN; Fomin, SV (1957) [1954]. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. Vol. 1. Traducido por Boron, Leo F. Rochester, NY: Graylock Press. págs. 51–3.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs.
7. Narici y Beckenstein 2011, págs. 55-56.
8. Narici y Beckenstein 2011, págs. 55–66.
9. Schaefer y Wolff 1999, págs. 12-35.
10. Schaefer & Wolff 1999, pág. 25.
11. Trèves 2006, pág. 53.
12. Jarchow 1981, págs. 56–73.
13. von Neumann, John (1935). "Sobre espacios topológicos completos". Transacciones de la American Mathematical Society . 37 (1): 1–20. doi : 10.2307/1989693 . ISSN  0002-9947.
14. Phillips, RS (1940). "Sobre transformaciones lineales". Anales de Matemáticas : 525.
15. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.
16. Narici y Beckenstein 2011, págs. 67-113.

Bibliografía

• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Sutherland, WA (1975). Introducción a los espacios métricos y topológicos . Oxford University Press. ISBN 0-19-853161-3.Zbl 0304.54002  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.