En matemáticas , específicamente en teoría de conjuntos , el producto cartesiano de dos conjuntos A y B , denotado A × B , es el conjunto de todos los pares ordenados ( a , b ) donde a está en A y b está en B. [1] En términos de notación de constructor de conjuntos , es decir
Se puede crear una tabla tomando el producto cartesiano de un conjunto de filas y un conjunto de columnas. Si se toma el producto cartesiano filas × columnas , las celdas de la tabla contienen pares ordenados de la forma (valor de fila, valor de columna) . [4]
De manera similar, se puede definir el producto cartesiano de n conjuntos, también conocido como producto cartesiano n veces , que puede representarse mediante una matriz de n dimensiones, donde cada elemento es una n - tupla . Un par ordenado es una tupla o pareja de 2 . De manera más general aún, se puede definir el producto cartesiano de una familia indexada de conjuntos.
El producto cartesiano lleva el nombre de René Descartes , [5] cuya formulación de la geometría analítica dio lugar al concepto, que se generaliza aún más en términos de producto directo .
Una definición rigurosa del producto cartesiano requiere que se especifique un dominio en la notación del constructor de conjuntos . En este caso, el dominio tendría que contener el propio producto cartesiano. Para definir el producto cartesiano de los conjuntos y , con la definición típica de Kuratowski de un par como , un dominio apropiado es el conjunto donde denota el conjunto potencia . Entonces el producto cartesiano de los conjuntos y se definiría como [6]
Un ejemplo ilustrativo es la baraja estándar de 52 cartas . Los rangos de naipes estándar {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} forman un conjunto de 13 elementos. Los palos de cartas {♠, ♥ , ♦ , ♣ } forman un conjunto de cuatro elementos. El producto cartesiano de estos conjuntos devuelve un conjunto de 52 elementos que consta de 52 pares ordenados , que corresponden a los 52 naipes posibles.
Rangos × Trajes devuelve un conjunto de la forma {(A, ♠), (A, ♥ ), (A, ♦ ), (A, ♣), (K, ♠), …, (3, ♣), (2 , ♠), (2, ♥ ), (2, ♦ ), (2, ♣)}.
Trajes × Rangos devuelve un conjunto de la forma {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10),…, (♣, 6), (♣ , 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.
Estos dos conjuntos son distintos, incluso disjuntos , pero existe una biyección natural entre ellos, según la cual (3, ♣) corresponde a (♣, 3) y así sucesivamente.
El principal ejemplo histórico es el plano cartesiano en geometría analítica . Para representar formas geométricas de forma numérica y extraer información numérica de las representaciones numéricas de las formas, René Descartes asignó a cada punto del plano un par de números reales , llamados coordenadas . Por lo general, el primer y segundo componente de dicho par se denominan coordenadas xey , respectivamente (ver imagen). El conjunto de todos esos pares (es decir, el producto cartesiano , que denota los números reales) se asigna así al conjunto de todos los puntos del plano. [7]
Una definición formal del producto cartesiano a partir de principios de la teoría de conjuntos se deriva de una definición de par ordenado . La definición más común de pares ordenados, la definición de Kuratowski , es . Según esta definición, es un elemento de y es un subconjunto de ese conjunto, donde representa el operador del conjunto potencia . Por lo tanto, la existencia del producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera en ZFC se deriva de los axiomas de emparejamiento , unión , conjunto potencia y especificación . Dado que las funciones generalmente se definen como un caso especial de relaciones , y las relaciones generalmente se definen como subconjuntos del producto cartesiano, la definición del producto cartesiano de dos conjuntos es necesariamente anterior a la mayoría de las demás definiciones.
Sean conjuntos A , B , C y D.
El producto cartesiano A × B no es conmutativo ,
porque los pares ordenados se invierten a menos que se cumpla al menos una de las siguientes condiciones: [8]
Por ejemplo:
Estrictamente hablando, el producto cartesiano no es asociativo (a menos que uno de los conjuntos involucrados esté vacío).
Si por ejemplo A = {1}, entonces ( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A ) .
El producto cartesiano satisface la siguiente propiedad con respecto a las intersecciones (ver imagen del medio).
En la mayoría de los casos, la afirmación anterior no es cierta si reemplazamos la intersección con la unión (ver imagen de la derecha).
De hecho, tenemos eso:
Para la diferencia establecida, también tenemos la siguiente identidad:
Aquí hay algunas reglas que demuestran la distributividad con otros operadores (ver imagen más a la izquierda): [8]
donde denota el complemento absoluto de A .
Otras propiedades relacionadas con los subconjuntos son:
La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto. Por ejemplo, definiendo dos conjuntos: A = {a, b} y B = {5, 6} . Tanto el conjunto A como el conjunto B constan de dos elementos cada uno. Su producto cartesiano, escrito como A × B , da como resultado un nuevo conjunto que tiene los siguientes elementos:
donde cada elemento de A está emparejado con cada elemento de B , y donde cada par constituye un elemento del conjunto de salida. El número de valores en cada elemento del conjunto resultante es igual al número de conjuntos cuyo producto cartesiano se está tomando; 2 en este caso. La cardinalidad del conjunto de salida es igual al producto de las cardinalidades de todos los conjuntos de entrada. Eso es,
En este caso, | A × B | = 4
Similarmente,
etcétera.
El conjunto A × B es infinito si A o B son infinitos y el otro conjunto no es el conjunto vacío. [10]
El producto cartesiano se puede generalizar al producto cartesiano n -ario sobre n conjuntos X 1 , ..., X n como el conjunto
de n -tuplas . Si las tuplas se definen como pares ordenados anidados , se pueden identificar con ( X 1 ×... × X n −1 ) × X n . Si una tupla se define como una función en {1, 2, ..., n } que toma su valor en i como el i- ésimo elemento de la tupla, entonces el producto cartesiano X 1 × ... × X n es el conjunto de funciones
El cuadrado cartesiano de un conjunto X es el producto cartesiano X 2 = X × X . Un ejemplo es el plano bidimensional R 2 = R × R donde R es el conjunto de números reales : [1] R 2 es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) donde x e y son números reales (ver el plano cartesiano sistema coordinado ).
La potencia cartesiana n -aria de un conjunto X , denotada , se puede definir como
Un ejemplo de esto es R 3 = R × R × R , siendo R nuevamente el conjunto de números reales, [1] y más generalmente R n .
La potencia cartesiana n -aria de un conjunto X es isomorfa al espacio de funciones de un n -elemento establecido en X . Como caso especial, la potencia cartesiana 0-aria de X puede considerarse un conjunto singleton , correspondiente a la función vacía con codominio X.
Es posible definir el producto cartesiano de una familia de conjuntos indexados arbitrarios (posiblemente infinitos ) . Si I es cualquier conjunto de índices y es una familia de conjuntos indexados por I , entonces el producto cartesiano de los conjuntos en se define como
es decir, el conjunto de todas las funciones definidas en el conjunto de índices I tal que el valor de la función en un índice particular i es un elemento de X i . Incluso si cada uno de los X i no está vacío, el producto cartesiano puede estar vacío si no se asume el axioma de elección , que equivale a la afirmación de que cada uno de esos productos no está vacío. también se puede denotar . [11]
Para cada j en I , la función
definido por se llama j- ésimo mapa de proyección .
La potencia cartesiana es un producto cartesiano donde todos los factores Xi son el mismo conjunto X . En este caso,
es el conjunto de todas las funciones de I a X , y con frecuencia se denota X I. Este caso es importante en el estudio de la exponenciación cardinal . Un caso especial importante es cuando el conjunto índice son los números naturales : este producto cartesiano es el conjunto de todas las secuencias infinitas con el iésimo término en su correspondiente conjunto X i . Por ejemplo, cada elemento de
se puede visualizar como un vector con componentes de números reales numerables e infinitos. Este conjunto se denomina frecuentemente , o .
Si se multiplican varios conjuntos (por ejemplo, X 1 , X 2 , X 3 ,…), entonces algunos autores [12] optan por abreviar el producto cartesiano simplemente × X i .
Si f es una función de X a A y g es una función de Y a B , entonces su producto cartesiano f × g es una función de X × Y a A × B con
Esto se puede extender a tuplas y colecciones infinitas de funciones. Esto es diferente del producto cartesiano estándar de funciones consideradas como conjuntos.
Sea un conjunto y . Entonces el cilindro de con respecto a es el producto cartesiano de y .
Normalmente, se considera que es el universo del contexto y se deja de lado. Por ejemplo, si es un subconjunto de los números naturales , entonces el cilindro de es .
Aunque el producto cartesiano se aplica tradicionalmente a conjuntos, la teoría de categorías proporciona una interpretación más general del producto de estructuras matemáticas. Esto es distinto, aunque relacionado, con la noción de cuadrado cartesiano en la teoría de categorías, que es una generalización del producto de fibra .
La exponenciación es el adjunto derecho del producto cartesiano; por tanto, cualquier categoría con un producto cartesiano (y un objeto final ) es una categoría cerrada cartesiana .
En teoría de grafos , el producto cartesiano de dos gráficas G y H es la gráfica denotada por G × H , cuyo conjunto de vértices es el producto cartesiano (ordinario) V ( G ) × V ( H ) y tal que dos vértices ( u , v ) y ( u ′, v ′ ) son adyacentes en G × H , si y solo si u = u ′ y v es adyacente a v ′ en H , o v = v ′ y u es adyacente a u ′ en G. El producto cartesiano de gráficos no es un producto en el sentido de la teoría de categorías. En cambio, el producto categórico se conoce como producto tensorial de gráficos .