La noción dual es la de objeto terminal (también llamado elemento terminal ): T es terminal si para cada objeto X en C existe exactamente un morfismo X → T. Los objetos iniciales también se denominan coterminales o universales , y los objetos terminales también se denominan finales .
Si un objeto es inicial y terminal, se le llama objeto cero u objeto nulo . Una categoría puntiaguda es aquella con un objeto cero.
El conjunto vacío es el único objeto inicial en Set , la categoría de conjuntos . Cada conjunto de un elemento ( singleton ) es un objeto terminal en esta categoría; no hay objetos cero. De manera similar, el espacio vacío es el único objeto inicial en Top , la categoría de espacios topológicos y cada espacio de un punto es un objeto terminal en esta categoría.
En la categoría Rel de conjuntos y relaciones, el conjunto vacío es el objeto inicial único, el objeto terminal único y, por tanto, el objeto cero único.
Morfismos de conjuntos puntiagudos. La imagen también se aplica a objetos cero algebraicos.
En la categoría de conjuntos puntiagudos (cuyos objetos son conjuntos no vacíos junto con un elemento distinguido; un morfismo de ( A , a ) a ( B , b ) es una función f : A → B con f ( a ) = b ) , cada singleton es un objeto cero. De manera similar, en la categoría de espacios topológicos puntiagudos , cada singleton es un objeto cero.
En Ring , la categoría de anillos con unidad y morfismos que preservan la unidad, el anillo de números enteros Z es un objeto inicial. El anillo cero que consta de un solo elemento 0 = 1 es un objeto terminal.
En Rig , la categoría de rigs con unidad y morfismos que preservan la unidad, el rig de números naturales N es un objeto inicial. El aparejo cero, que es el anillo cero , que consta de un solo elemento 0 = 1 , es un objeto terminal.
En Campo , la categoría de campos , no hay objetos iniciales ni terminales. Sin embargo, en la subcategoría de campos de característica fija, el campo principal es un objeto inicial.
Cualquier conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) puede interpretarse como una categoría: los objetos son los elementos de P , y hay un único morfismo de xay si y solo si x ≤ y . Esta categoría tiene un objeto inicial si y sólo si P tiene un elemento mínimo ; tiene un objeto terminal si y sólo si P tiene un elemento mayor .
Cat , la categoría de categorías pequeñas con functores como morfismos tiene la categoría vacía, 0 (sin objetos ni morfismos), como objeto inicial y la categoría terminal, 1 (con un solo objeto con un solo morfismo de identidad), como objeto terminal .
En la categoría de esquemas , Spec( Z ), el espectro primo del anillo de números enteros, es un objeto terminal. El esquema vacío (igual al espectro primo del anillo cero ) es un objeto inicial.
Un límite de un diagrama F puede caracterizarse como un objeto terminal en la categoría de conos de F. Asimismo, un colimit de F puede caracterizarse como un objeto inicial en la categoría de coconos de F.
En la categoría Ch R de complejos de cadena sobre un anillo conmutativo R , el complejo cero es un objeto cero.
No es necesario que los objetos iniciales y terminales existan en una categoría determinada. Sin embargo, si existen, son esencialmente únicos. Específicamente, si I 1 e I 2 son dos objetos iniciales diferentes, entonces existe un isomorfismo único entre ellos. Además, si I es un objeto inicial, entonces cualquier objeto isomorfo a I también es un objeto inicial. Lo mismo ocurre con los objetos terminales.
Para categorías completas existe un teorema de existencia para objetos iniciales. Específicamente, una categoría completa C ( localmente pequeña ) tiene un objeto inicial si y sólo si existe un conjunto I ( no una clase adecuada ) y una familia indexada con I ( K i ) de objetos de C tal que para cualquier objeto X de C , existe al menos un morfismo K i → X para algunos i ∈ I .
Formulaciones equivalentes
Los objetos terminales en una categoría C también se pueden definir como límites del diagrama vacío único 0 → C. Dado que la categoría vacía es vacíamente una categoría discreta , un objeto terminal puede considerarse como un producto vacío (un producto es de hecho el límite del diagrama discreto { X i } , en general). De manera dual, un objeto inicial es un colimit del diagrama vacío 0 → C y puede considerarse como un coproducto vacío o una suma categórica.
De ello se deduce que cualquier funtor que conserve los límites llevará objetos terminales a objetos terminales, y cualquier funtor que conserve los colimits llevará objetos iniciales a objetos iniciales. Por ejemplo, el objeto inicial en cualquier categoría concreta con objetos libres será el objeto libre generado por el conjunto vacío (ya que el funtor libre , al quedar adjunto al functor olvidadizo de Set , conserva los colimits).
Los objetos iniciales y terminales también pueden caracterizarse en términos de propiedades universales y funtores adjuntos . Sea 1 la categoría discreta con un solo objeto (denotado por •), y sea U : C → 1 el funtor único (constante) de 1 . Entonces
Un objeto inicial I en C es un morfismo universal de • a U. El funtor que envía • a I se deja junto a U .
Un objeto terminal T en C es un morfismo universal de U a •. El funtor que envía • a T es adjunto derecho a U .
Relación con otras construcciones categóricas
Muchas construcciones naturales en la teoría de categorías pueden formularse en términos de encontrar un objeto inicial o terminal en una categoría adecuada.
Un morfismo universal de un objeto X a un funtor U se puede definir como un objeto inicial en la categoría de coma ( X ↓ U ) . Dualmente, un morfismo universal de U a X es un objeto terminal en ( U ↓ X ) .
El límite de un diagrama F es un objeto terminal en Cone( F ) , la categoría de conos de F . Dualmente, un colimit de F es un objeto inicial en la categoría de conos de F.
La noción de funtor final (respectivamente, funtor inicial) es una generalización de la noción de objeto final (respectivamente, objeto inicial).
Otras propiedades
El monoide de endomorfismo de un objeto inicial o terminal I es trivial: End( I ) = Hom( I , I ) = { id I } .
Si una categoría C tiene un objeto cero 0 , entonces para cualquier par de objetos X e Y en C , la composición única X → 0 → Y es un morfismo cero de X a Y.
Referencias
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas. La alegría de los gatos (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6. Zbl 0695.18001. Archivado desde el original (PDF) el 21 de abril de 2015 . Consultado el 15 de enero de 2008 .
Pedicchio, María Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales de orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 97. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
