categoría de coma

Construcción matemática

En matemáticas , una categoría de coma (un caso especial es una categoría de sector ) es una construcción en la teoría de categorías . Proporciona otra forma de ver los morfismos : en lugar de simplemente relacionar objetos de una categoría entre sí, los morfismos se convierten en objetos por derecho propio. Esta noción fue introducida en 1963 por FW Lawvere (Lawvere, 1963 p. 36), aunque la técnica no ^{[ cita necesaria ]} se hizo generalmente conocida hasta muchos años después. Varios conceptos matemáticos pueden tratarse como categorías de comas. Las categorías de coma también garantizan la existencia de algunos límites y colimites . El nombre proviene de la notación utilizada originalmente por Lawvere, que implicaba el signo de puntuación de coma . El nombre persiste a pesar de que la notación estándar ha cambiado, ya que el uso de una coma como operador es potencialmente confuso, e incluso a Lawvere no le gusta el término poco informativo "categoría de coma" (Lawvere, 1963 p. 13).

Definición

La construcción de categorías de coma más general implica dos funtores con el mismo codominio. A menudo, uno de estos tendrá el dominio 1 (la categoría de un morfismo de un objeto). Algunas explicaciones de la teoría de categorías consideran sólo estos casos especiales, pero el término categoría de coma es en realidad mucho más general.

forma general

Supongamos que , y son categorías, y y (para origen y destino) son functores : ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\xrightarrow {\;\;S\;\;}}{\mathcal {C}}{\xleftarrow {\;\;T\;\;}}{\mathcal {B}}}$

Podemos formar la categoría de coma de la siguiente manera: ${\displaystyle (S\downarrow T)}$

• Todos los objetos son triples con un objeto en , un objeto en y un morfismo en . ${\displaystyle (A,B,h)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle h:S(A)\rightarrow T(B)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• Los morfismos de a son todos pares donde y son morfismos en y respectivamente, de modo que el siguiente diagrama conmuta : ${\displaystyle (A,B,h)}$ ${\displaystyle (A',B',h')}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$ ${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Diagrama de coma

Los morfismos se componen tomando to be , siempre que se defina esta última expresión. El morfismo de identidad de un objeto es . ${\displaystyle (f',g')\circ (f,g)}$ ${\displaystyle (f'\circ f,g'\circ g)}$ ${\displaystyle (A,B,h)}$ ${\displaystyle (\mathrm {id} _{A},\mathrm {id} _{B})}$

categoría de rebanada

El primer caso especial ocurre cuando el funtor es el funtor identidad y (la categoría con un objeto y un morfismo). Luego, para algún objeto en . ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\textbf {1}}}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle T(*)=A_{*}}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}\xrightarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {A}}\;\;} {\mathcal {A}}\xleftarrow {\;\;A_{*}\;\;} {\textbf {1}}}$

En este caso, la categoría de coma se escribe y, a menudo, se denomina categoría de corte o categoría de objetos sobre . Los objetos se pueden simplificar a pares , donde . A veces, se denota por . Un morfismo de a en la categoría de sector se puede simplificar a una flecha haciendo que el siguiente diagrama conmute: ${\displaystyle ({\mathcal {A}}\downarrow A_{*})}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle (A,*,h)}$ ${\displaystyle (A,h)}$ ${\displaystyle h:A\rightarrow A_{*}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \pi _{A}}$ ${\displaystyle (f,\mathrm {id} _{*})}$ ${\displaystyle (A,\pi _{A})}$ ${\displaystyle (A',\pi _{A'})}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$

Diagrama de corte

categoría cóslice

El concepto dual de una categoría de corte es una categoría de coslice. Aquí , tiene dominio y es un funtor de identidad. ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\textbf {1}}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\textbf {1}}\xrightarrow {\;\;B_{*}\;\;} {\mathcal {B}}\xleftarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {B}}\;\;} {\mathcal {B}}}$

En este caso, la categoría de coma a menudo se escribe , donde está el objeto seleccionado por . Se llama categoría de coslice con respecto a , o categoría de objetos bajo . Los objetos son pares con . Dado y , un morfismo en la categoría coslice es un mapa que hace conmutar el siguiente diagrama: ${\displaystyle (B_{*}\downarrow {\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle B_{*}=S(*)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B_{*}}$ ${\displaystyle B_{*}}$ ${\displaystyle (B,\iota _{B})}$ ${\displaystyle \iota _{B}:B_{*}\rightarrow B}$ ${\displaystyle (B,\iota _{B})}$ ${\displaystyle (B',\iota _{B'})}$ ${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$

Diagrama de cóslice

Categoría de flecha

${\displaystyle S}$y son functores de identidad en (so ). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\xrightarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {C}}\;\;} {\mathcal {C}}\xleftarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {C}}\;\;} {\mathcal {C}}}$

En este caso, la categoría de coma es la categoría de flecha . Sus objetos son los morfismos de y sus morfismos son cuadrados de conmutación en . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Diagrama de flechas

Otras variaciones

En el caso de la categoría de corte o coslice, el funtor de identidad puede reemplazarse con algún otro funtor; esto produce una familia de categorías particularmente útiles en el estudio de funtores adjuntos . Por ejemplo, si el funtor olvidadizo asigna un grupo abeliano a su conjunto subyacente y es un conjunto fijo (considerado como un funtor de 1 ), entonces la categoría de coma tiene objetos que se asignan a un conjunto subyacente a un grupo. Esto se relaciona con el adjunto izquierdo de , que es el funtor que asigna un conjunto al grupo abeliano libre que tiene ese conjunto como base. En particular, el objeto inicial de es la inyección canónica , donde está el grupo libre generado por . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (s\downarrow T)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (s\downarrow T)}$ ${\displaystyle s\rightarrow T(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s}$

Un objeto de se llama morfismo de a o flecha estructurada con dominio . ^[1] Un objeto de se llama morfismo de a o flecha coestructurada con codominio . ^[1] ${\displaystyle (s\downarrow T)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (S\downarrow t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

Otro caso especial ocurre cuando ambos y son functores con dominio . Si y , entonces la categoría de coma , escrita , es la categoría discreta cuyos objetos son morfismos de a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\textbf {1}}}$ ${\displaystyle S(*)=A}$ ${\displaystyle T(*)=B}$ ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ ${\displaystyle (A\downarrow B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Una categoría de inserción es una subcategoría (no completa) de la categoría de coma donde y son obligatorios. La categoría de coma también puede verse como el insertador de y , donde y son los dos functores de proyección fuera de la categoría de producto . ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle S\circ \pi _{1}}$ ${\displaystyle T\circ \pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}}$

Propiedades

Para cada categoría de coma hay funtores olvidadizos.

• Functor de dominio, que asigna: ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {A}}}$
  • objetos: ; ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto A}$
  • morfismos: ; ${\displaystyle (f,g)\mapsto f}$
• Functor codomain, que asigna: ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {B}}}$
  • objetos: ; ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto B}$
  • morfismos: . ${\displaystyle (f,g)\mapsto g}$
• Functor de flecha, que asigna: ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$
  • objetos: ; ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto h}$
  • morfismos: ; ${\displaystyle (f,g)\mapsto (Sf,Tg)}$

Ejemplos de uso

Algunas categorías notables

Varias categorías interesantes tienen una definición natural en términos de categorías de comas.

• La categoría de conjuntos puntiagudos es una categoría de coma, siendo (un funtor que selecciona) cualquier conjunto singleton y (el funtor de identidad de) la categoría de conjuntos . Cada objeto de esta categoría es un conjunto, junto con una función que selecciona algún elemento del conjunto: el "punto base". Los morfismos son funciones en conjuntos que asignan puntos base a puntos base. De manera similar se puede formar la categoría de espacios puntiagudos . ${\displaystyle \scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Set} )}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\bullet }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {Set} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Top} )}}$
• La categoría de álgebras asociativas sobre un anillo es la categoría de coslice , ya que cualquier homomorfismo de anillo induce una estructura de álgebra asociativa en y viceversa. Los morfismos son entonces mapas que hacen que el diagrama conmute. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \scriptstyle {(R\downarrow \mathbf {Ring} )}}$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h:S\to T}$
• La categoría de gráficos es , y el funtor toma un conjunto de . Los objetos constan entonces de dos conjuntos y una función; es un conjunto de indexación, es un conjunto de nodos y elige pares de elementos para cada entrada de . Es decir, selecciona ciertas aristas del conjunto de posibles aristas. Un morfismo en esta categoría se compone de dos funciones, una en el conjunto de indexación y otra en el conjunto de nodos. Deben "estar de acuerdo" según la definición general anterior, es decir, que deben satisfacer . En otras palabras, el borde correspondiente a un determinado elemento del conjunto de indexación, cuando se traduce, debe ser el mismo que el borde del índice traducido. ${\displaystyle \scriptstyle {(\mathbf {Set} \downarrow D)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {D:\,\mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Set} }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\times s}$ ${\displaystyle (a,b,f)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f:a\rightarrow (b\times b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b\times b}$ ${\displaystyle (g,h):(a,b,f)\rightarrow (a',b',f')}$ ${\displaystyle f'\circ g=D(h)\circ f}$
• Muchas operaciones de "aumento" o "etiquetado" se pueden expresar en términos de categorías de comas. Sea el funtor que lleva cada gráfico al conjunto de sus aristas, y sea (un funtor que selecciona) algún conjunto particular: entonces es la categoría de gráficos cuyas aristas están etiquetadas por elementos de . Esta forma de categoria de coma a menudo se denomina objetos -sobre - estrechamente relacionado con los "objetos sobre " discutidos anteriormente. Aquí, cada objeto toma la forma , donde hay una gráfica y una función desde los bordes de hasta . Los nodos del gráfico podrían etiquetarse esencialmente de la misma manera. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (S\downarrow A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (B,\pi _{B})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi _{B}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$
• Se dice que una categoría es localmente cartesiana cerrada si cada porción de ella es cartesiana cerrada (consulte más arriba la noción de porción ). Las categorías cerradas localmente cartesianas son las categorías clasificadoras de las teorías de tipo dependiente .

Límites y morfismos universales.

Los límites y colimites en categorías de comas pueden "heredarse". Si y son completos , es un functor continuo y es otro funtor (no necesariamente continuo), entonces la categoría de coma producida es completa, ^[2] y los funtores de proyección y son continuos. De manera similar, si y son cocompletos y son cocontinuos , entonces son cocompletos y los funtores de proyección son cocontinuos. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ ${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (S\downarrow T)}$

Por ejemplo, tenga en cuenta que en la construcción anterior de la categoría de gráficos como categoría de coma, la categoría de conjuntos es completa y cocompleta, y el funtor de identidad es continuo y cocontinuo. Por tanto, la categoría de gráficos es completa y cocompleta.

La noción de un morfismo universal a un colimit particular, o desde un límite, se puede expresar en términos de una categoría de coma. Esencialmente, creamos una categoría cuyos objetos son conos y donde el cono limitante es un objeto terminal ; entonces, cada morfismo universal para el límite es solo el morfismo del objeto terminal. Esto funciona en el caso dual, con una categoría de cocos que tiene un objeto inicial. Por ejemplo, sea una categoría con el funtor que lleva cada objeto y cada flecha a . Un morfismo universal de a consiste, por definición, en un objeto y un morfismo con la propiedad universal de que para cualquier morfismo existe un morfismo único con . En otras palabras, es un objeto en la categoría coma que tiene un morfismo con respecto a cualquier otro objeto en esa categoría; es inicial. Esto sirve para definir el coproducto en , cuando existe. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (c,c)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f,f)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (c,c)}$ ${\displaystyle \rho :(a,b)\rightarrow (c,c)}$ ${\displaystyle \rho ':(a,b)\rightarrow (d,d)}$ ${\displaystyle \sigma :c\rightarrow d}$ ${\displaystyle F(\sigma )\circ \rho =\rho '}$ ${\displaystyle ((a,b)\downarrow F)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Adjunciones

Lawvere demostró que los functores y son adjuntos si y sólo si las categorías de coma y , con y los functores de identidad en y respectivamente, son isomórficos, y elementos equivalentes en la categoría de coma se pueden proyectar sobre el mismo elemento de . Esto permite describir las conjunciones sin involucrar conjuntos y, de hecho, fue la motivación original para introducir categorías de comas. ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (F\downarrow id_{\mathcal {D}})}$ ${\displaystyle (id_{\mathcal {C}}\downarrow G)}$ ${\displaystyle id_{\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle id_{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}$

Transformaciones naturales

Si los dominios de son iguales, entonces el diagrama que define los morfismos en con es idéntico al diagrama que define una transformación natural . La diferencia entre las dos nociones es que una transformación natural es una colección particular de morfismos de tipo de la forma , mientras que los objetos de la categoría coma contienen todos los morfismos de tipo de dicha forma. Un functor de la categoría de coma selecciona esa colección particular de morfismos. Esto se describe sucintamente mediante una observación de SA Huq ^[3] de que una transformación natural , con , corresponde a un functor que asigna cada objeto y asigna cada morfismo a . Esta es una correspondencia biyectiva entre transformaciones naturales y functores que son secciones de ambos functores olvidadizos de . ${\displaystyle S,T}$ ${\displaystyle S\downarrow T}$ ${\displaystyle A=B,A'=B',f=g}$ ${\displaystyle S\to T}$ ${\displaystyle S(A)\to T(A)}$ ${\displaystyle \eta :S\to T}$ ${\displaystyle S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,A,\eta _{A})}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle S\to T}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$ ${\displaystyle S\downarrow T}$

Referencias

1. Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.
2. Rydheard, David E.; Burstall, Rod M. (1988). Teoría de categorías computacionales (PDF) . Prentice Hall.
3. Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja , Textos de posgrado en matemáticas 5 (2ª ed.), Springer-Verlag, p. 48, ISBN 0-387-98403-8

• Categoría de coma en el n Lab
• Lawvere, W (1963). "Semántica funcional de teorías algebraicas" y "Algunos problemas algebraicos en el contexto de la semántica funtorial de teorías algebraicas". http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf

enlaces externos

• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos
• WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, funtores , transformaciones naturales , propiedades universales .
• Página web interactiva que genera ejemplos de construcciones categóricas en la categoría de conjuntos finitos.