En álgebra , el objeto cero de una estructura algebraica dada es, en el sentido que se explica a continuación, el objeto más simple de dicha estructura. Como conjunto es un singleton , y como magma tiene una estructura trivial , que también es un grupo abeliano . La estructura de grupo abeliano antes mencionada generalmente se identifica como suma y el único elemento se llama cero , por lo que el objeto en sí generalmente se denota como {0} . A menudo se hace referencia al objeto trivial (de una categoría específica ) ya que cada objeto trivial es isomorfo a cualquier otro (bajo un isomorfismo único).
Las instancias del objeto cero incluyen, entre otras, las siguientes:
Estos objetos se describen conjuntamente no solo basándose en la estructura común de grupo singleton y trivial, sino también debido a propiedades teóricas de categorías compartidas.
En los últimos tres casos la multiplicación escalar por un elemento del anillo (o campo) base se define como:
El más general de ellos, el módulo cero, es un módulo de generación finita con un grupo electrógeno vacío .
Para estructuras que requieren la estructura de multiplicación dentro del objeto cero, como el anillo trivial , solo hay uno posible, 0 × 0 = 0 , porque no hay elementos distintos de cero. Esta estructura es asociativa y conmutativa . Un anillo R que tiene identidad aditiva y multiplicativa es trivial si y sólo si 1 = 0 , ya que esta igualdad implica que para todo r dentro de R ,
En este caso es posible definir la división por cero , ya que el elemento único es su propio inverso multiplicativo. Algunas propiedades de {0} dependen de la definición exacta de la identidad multiplicativa; ver § Estructuras unitarias a continuación.
Cualquier álgebra trivial es también un anillo trivial. Un álgebra trivial sobre un campo es simultáneamente un espacio vectorial cero que se considera a continuación. Sobre un anillo conmutativo , un álgebra trivial es simultáneamente un módulo cero.
El anillo trivial es un ejemplo de un anillo de cero cuadrado . Un álgebra trivial es un ejemplo de álgebra cero .
La dimensión ceroEl espacio vectorial es un ejemplo especialmente ubicuo de un objeto cero, un espacio vectorial sobre un campo con una base vacía . Por tanto tiene dimensión cero. También es un grupo trivial sobre la suma y un módulo trivial mencionado anteriormente.
El anillo cero, el módulo cero y el espacio vectorial cero son los objetos cero de, respectivamente, la categoría de pseudoanillos , la categoría de módulos y la categoría de espacios vectoriales . Sin embargo, el anillo cero no es un objeto cero en la categoría de anillos , ya que no existe homomorfismo de anillo del anillo cero en ningún otro anillo.
El objeto cero, por definición , debe ser un objeto terminal, lo que significa que debe existir un morfismo A → {0} y ser único para un objeto arbitrario A. Este morfismo asigna cualquier elemento de A a 0 .
El objeto cero, también por definición, debe ser un objeto inicial, lo que significa que debe existir un morfismo {0} → A y ser único para un objeto arbitrario A. Este morfismo asigna 0 , el único elemento de {0} , al elemento cero 0 ∈ A , llamado vector cero en espacios vectoriales. Este mapa es un monomorfismo y, por tanto, su imagen es isomorfa a {0} . Para módulos y espacios vectoriales, este subconjunto {0} ⊂ A es el único submódulo generado vacío (o subespacio lineal de dimensión 0 ) en cada módulo (o espacio vectorial) A.
El objeto {0} es un objeto terminal de cualquier estructura algebraica donde exista, como se describió en los ejemplos anteriores. Pero su existencia y, si existe, la propiedad de ser un objeto inicial (y por tanto, un objeto cero en el sentido teórico de categorías ) dependen de la definición exacta de la identidad multiplicativa 1 en una estructura específica.
Si la definición de 1 requiere que 1 ≠ 0 , entonces el objeto {0} no puede existir porque puede contener solo un elemento. En particular, el anillo cero no es un campo . Si los matemáticos a veces hablan de un campo con un elemento , este objeto matemático abstracto y algo misterioso no es un campo.
En categorías donde la identidad multiplicativa debe preservarse mediante morfismos, pero puede ser igual a cero, el objeto {0} puede existir. Pero no como objeto inicial porque los morfismos que preservan la identidad de {0} a cualquier objeto donde 1 ≠ 0 no existen. Por ejemplo, en la categoría de anillos Ring, el anillo de números enteros Z es el objeto inicial, no {0} .
Si una estructura algebraica requiere la identidad multiplicativa, pero no su preservación mediante morfismos ni 1 ≠ 0 , entonces existen morfismos cero y la situación no es diferente de las estructuras no unitarias consideradas en la sección anterior.
Los espacios vectoriales cero y los módulos cero generalmente se indican con 0 (en lugar de {0} ). Este es siempre el caso cuando ocurren en una secuencia exacta .
