grupo trivial

Grupo formado por un solo elemento.

En matemáticas , un grupo trivial o grupo cero es un grupo formado por un solo elemento. Todos estos grupos son isomorfos , por lo que a menudo se habla del grupo trivial. El elemento único del grupo trivial es el elemento de identidad y por eso generalmente se denota como tal: o según el contexto. Si se denota la operación de grupo, entonces se define por ${\displaystyle 0,1,}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$ ${\displaystyle e\cdot e=e.}$

La definición similarEl monoide trivial también es un grupo ya que su único elemento es su propio inverso y, por tanto, es lo mismo que el grupo trivial.

El grupo trivial es distinto del conjunto vacío , que no tiene elementos y, por tanto, carece de un elemento de identidad y, por tanto, no puede ser un grupo.

Definiciones

Dado cualquier grupo, el grupo que consta únicamente del elemento identidad es un subgrupo de y, al ser el grupo trivial, se llama ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G,}$subgrupo trivial de ${\displaystyle G.}$

El término, cuando se hace referencia a " no tiene subgrupos propios no triviales", se refiere a que los únicos subgrupos son el grupo trivial y el grupo mismo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle G}$

Propiedades

El grupo trivial es cíclico de orden ; como tal, puede denotarse o Si la operación de grupo se llama suma, el grupo trivial generalmente se denota por Si la operación de grupo se llama multiplicación, entonces 1 puede ser una notación para el grupo trivial. Combinarlos conduce al anillo trivial en el que las operaciones de suma y multiplicación son idénticas y ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{1}.}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle 0=1.}$

El grupo trivial sirve como objeto cero en la categoría de grupos , lo que significa que es a la vez un objeto inicial y un objeto terminal .

El grupo trivial se puede convertir en un grupo (bi) ordenado equipándolo con el orden trivial no estricto ${\displaystyle \,\leq .}$

Ver también

• Objeto cero (álgebra)  : estructura algebraica con un solo elemento
• Lista de grupos pequeños

Referencias

• Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Grupo Trivial". MundoMatemático .