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Módulo (matemáticas)

En matemáticas , un módulo es una generalización de la noción de espacio vectorial en la que el cuerpo de escalares se sustituye por un anillo . El concepto de módulo también generaliza la noción de grupo abeliano , ya que los grupos abelianos son exactamente los módulos sobre el anillo de los números enteros .

Como un espacio vectorial, un módulo es un grupo abeliano aditivo, y la multiplicación escalar es distributiva sobre las operaciones de adición entre elementos del anillo o módulo y es compatible con la multiplicación del anillo.

Los módulos están estrechamente relacionados con la teoría de la representación de grupos . También son una de las nociones centrales del álgebra conmutativa y del álgebra homológica , y se utilizan ampliamente en la geometría algebraica y la topología algebraica .

Introducción y definición

Motivación

En un espacio vectorial, el conjunto de escalares es un cuerpo y actúa sobre los vectores mediante multiplicación escalar, sujeto a ciertos axiomas como la ley distributiva . En un módulo, los escalares solo necesitan ser un anillo , por lo que el concepto de módulo representa una generalización significativa. En álgebra conmutativa, tanto los ideales como los anillos de cocientes son módulos, de modo que muchos argumentos sobre ideales o anillos de cocientes se pueden combinar en un solo argumento sobre módulos. En álgebra no conmutativa, la distinción entre ideales izquierdos, ideales y módulos se vuelve más pronunciada, aunque algunas condiciones de teoría de anillos se pueden expresar sobre ideales izquierdos o módulos izquierdos.

Gran parte de la teoría de módulos consiste en extender tantas propiedades deseables de los espacios vectoriales como sea posible al reino de los módulos sobre un anillo " de buen comportamiento ", como un dominio de ideales principales . Sin embargo, los módulos pueden ser bastante más complicados que los espacios vectoriales; por ejemplo, no todos los módulos tienen una base , e incluso para aquellos que la tienen ( módulos libres ), el número de elementos en una base no necesita ser el mismo para todas las bases (es decir, no pueden tener un rango único ) si el anillo subyacente no satisface la condición de número de base invariante , a diferencia de los espacios vectoriales, que siempre tienen una base (posiblemente infinita) cuya cardinalidad es entonces única. (Estas dos últimas afirmaciones requieren el axioma de elección en general, pero no en el caso de espacios vectoriales de dimensión finita , o ciertos espacios vectoriales de dimensión infinita de buen comportamiento como los espacios L p ).

Definición formal

Supóngase que R es un anillo y 1 es su identidad multiplicativa. Un R -módulo izquierdo M consiste en un grupo abeliano ( M , +) y una operación ·  : R × MM tal que para todo r , s en R y x , y en M , tenemos

  1. ,
  2. ,
  3. ,

La operación · se llama multiplicación escalar . A menudo se omite el símbolo ·, pero en este artículo lo usamos y reservamos la yuxtaposición para la multiplicación en R. Se puede escribir R M para enfatizar que M es un R -módulo izquierdo. Un R -módulo derecho M R se define de manera similar en términos de una operación · : M × RM .

Los autores que no exigen que los anillos sean unitarios omiten la condición 4 en la definición anterior; denominarían a las estructuras definidas anteriormente " módulos R izquierdos unitarios ". En este artículo, de acuerdo con el glosario de la teoría de anillos , se supone que todos los anillos y módulos son unitarios. [1]

Un ( R , S ) -bimódulo es un grupo abeliano junto con una multiplicación escalar izquierda · por elementos de R y una multiplicación escalar derecha ∗ por elementos de S , lo que lo convierte simultáneamente en un R -módulo izquierdo y un S -módulo derecho, satisfaciendo la condición adicional ( r · x ) ∗ s = r ⋅ ( xs ) para todo r en R , x en M y s en S .

Si R es conmutativo , entonces los módulos R izquierdos son los mismos que los módulos R derechos y simplemente se llaman módulos R.

Ejemplos

Submódulos y homomorfismos

Supóngase que M es un R -módulo izquierdo y N es un subgrupo de M. Entonces N es un submódulo (o más explícitamente un R -submódulo) si para cualquier n en N y cualquier r en R , el producto rn (o nr para un R -módulo derecho ) está en N.

Si X es cualquier subconjunto de un R -módulo M , entonces el submódulo abarcado por X se define como donde N se extiende sobre los submódulos de M que contienen a X , o explícitamente , lo cual es importante en la definición de productos tensoriales de módulos . [2]

El conjunto de submódulos de un módulo dado M , junto con las dos operaciones binarias + (el módulo generado por la unión de los argumentos) y ∩, forma una red que satisface la ley modular : Dados los submódulos U , N 1 , N 2 de M tales que N 1N 2 , entonces los dos submódulos siguientes son iguales: ( N 1 + U ) ∩ N 2 = N 1 + ( UN 2 ) .

Si M y N son R -módulos restantes , entonces una función f  : MN es un homomorfismo de R -módulos si para cualquier m , n en M y r , s en R ,

.

Este, como cualquier homomorfismo de objetos matemáticos, es simplemente una aplicación que preserva la estructura de los objetos. Otro nombre para un homomorfismo de R -módulos es una aplicación R - lineal .

Un homomorfismo de módulo biyectivo f  : MN se denomina isomorfismo de módulo y los dos módulos M y N se denominan isomorfos . Dos módulos isomorfos son idénticos a todos los efectos prácticos y difieren únicamente en la notación de sus elementos.

El núcleo de un homomorfismo de módulo f  : MN es el submódulo de M que consiste en todos los elementos que son enviados a cero por f , y la imagen de f es el submódulo de N que consiste en los valores f ( m ) para todos los elementos m de M . [3] Los teoremas de isomorfismo familiares de los grupos y espacios vectoriales también son válidos para los R -módulos.

Dado un anillo R , el conjunto de todos los R -módulos izquierdos junto con sus homomorfismos de módulos forma una categoría abeliana , denotada por R - Mod (ver categoría de módulos ).

Tipos de módulos

Finitamente generado
Un módulo R M se genera finitamente si existen finitos elementos x 1 , ..., x n en M tales que cada elemento de M es una combinación lineal de aquellos elementos con coeficientes del anillo R .
Cíclico
Un módulo se denomina módulo cíclico si es generado por un elemento.
Gratis
Un módulo R libre es un módulo que tiene una base o, equivalentemente, uno que es isomorfo a una suma directa de copias del anillo R. Estos son los módulos que se comportan de manera muy similar a los espacios vectoriales.
Descriptivo
Los módulos proyectivos son sumas directas de módulos libres y comparten muchas de sus propiedades deseables.
Inyectivo
Los módulos inyectivos se definen de forma dual con respecto a los módulos proyectivos.
Departamento
Un módulo se llama plano si al tomar su producto tensorial con cualquier secuencia exacta de R -módulos se conserva la exactitud.
Sin torsión
Un módulo se llama sin torsión si se incrusta en su dual algebraico .
Simple
Un módulo simple S es un módulo que no es {0} y cuyos únicos submódulos son {0} y S. Los módulos simples a veces se denominan irreducibles . [4]
Semisimple
Un módulo semisimple es una suma directa (finita o no) de módulos simples. Históricamente, estos módulos también se denominan completamente reducibles .
Indecomponible
Un módulo indescomponible es un módulo distinto de cero que no se puede escribir como suma directa de dos submódulos distintos de cero. Todo módulo simple es indescomponible, pero hay módulos indescomponibles que no son simples (por ejemplo, los módulos uniformes ).
Fiel
Un módulo fiel M es aquel en el que la acción de cada r ≠ 0 en R sobre M no es trivial (es decir, rx ≠ 0 para algún x en M ). De manera equivalente, el aniquilador de M es el ideal cero .
Sin torsión
Un módulo libre de torsión es un módulo sobre un anillo tal que 0 es el único elemento aniquilado por un elemento regular (distinto del divisor de cero ) del anillo, equivalentemente rm = 0 implica r = 0 o m = 0 .
Noetheriano
Un módulo noetheriano es un módulo que satisface la condición de cadena ascendente de submódulos, es decir, cada cadena creciente de submódulos se vuelve estacionaria después de un número finito de pasos. De manera equivalente, cada submódulo se genera de manera finita.
Artiniano
Un módulo artiniano es un módulo que satisface la condición de cadena descendente en submódulos, es decir, cada cadena decreciente de submódulos se vuelve estacionaria después de un número finito de pasos.
Calificado
Un módulo graduado es un módulo con una descomposición como suma directa M = x M x sobre un anillo graduado R = x R x tal que R x M yM x + y para todo x e y .
Uniforme
Un módulo uniforme es un módulo en el que todos los pares de submódulos distintos de cero tienen intersección distinta de cero.

Otras nociones

Relación con la teoría de la representación

Una representación de un grupo G sobre un campo k es un módulo sobre el anillo de grupo k [ G ].

Si M es un R -módulo izquierdo , entonces la acción de un elemento r en R se define como la función MM que envía cada x a rx (o xr en el caso de un módulo derecho), y es necesariamente un endomorfismo de grupo del grupo abeliano ( M , +) . El conjunto de todos los endomorfismos de grupo de M se denota Extremo Z ( M ) y forma un anillo bajo adición y composición , y enviar un elemento de anillo r de R a su acción en realidad define un homomorfismo de anillo de R a Extremo Z ( M ).

Un homomorfismo de anillo de este tipo R → End Z ( M ) se denomina representación de R sobre el grupo abeliano M ; una forma alternativa y equivalente de definir R -módulos izquierdos es decir que un R -módulo izquierdo es un grupo abeliano M junto con una representación de R sobre él. Una representación de este tipo R → End Z ( M ) también puede denominarse acción de anillo de R sobre M .

Una representación se llama fiel si y solo si la función R → End Z ( M ) es inyectiva . En términos de módulos, esto significa que si r es un elemento de R tal que rx = 0 para todo x en M , entonces r = 0 . Todo grupo abeliano es un módulo fiel sobre los números enteros o sobre algún anillo de números enteros módulo n , Z / n Z .

Generalizaciones

Un anillo R corresponde a una categoría preaditiva R con un único objeto . Con esta comprensión, un R -módulo izquierdo es simplemente un funtor aditivo covariante de R a la categoría Ab de grupos abelianos , y los R -módulos derechos son funtores aditivos contravariantes. Esto sugiere que, si C es cualquier categoría preaditiva, un funtor aditivo covariante de C a Ab debe considerarse un módulo izquierdo generalizado sobre C . Estos funtores forman una categoría de funtores C - Mod , que es la generalización natural de la categoría de módulo R - Mod .

Los módulos sobre anillos conmutativos se pueden generalizar en una dirección diferente: tomemos un espacio anillado ( X , O X ) y consideremos los haces de O X -módulos (ver haz de módulos ). Estos forman una categoría O X - Mod , y juegan un papel importante en la geometría algebraica moderna . Si X tiene un solo punto, entonces esta es una categoría de módulo en el sentido antiguo sobre el anillo conmutativo O X ( X ).

También se pueden considerar módulos sobre un semianillo . Los módulos sobre anillos son grupos abelianos, pero los módulos sobre semianillos son solo monoides conmutativos . La mayoría de las aplicaciones de módulos aún son posibles. En particular, para cualquier semianillo S , las matrices sobre S forman un semianillo sobre el cual las tuplas de elementos de S son un módulo (solo en este sentido generalizado). Esto permite una generalización adicional del concepto de espacio vectorial que incorpora los semianillos de la informática teórica.

Sobre anillos cercanos , se pueden considerar módulos de anillos cercanos, una generalización no abeliana de módulos. [ cita requerida ]

Véase también

Notas

  1. ^ Dummit, David S. y Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta . Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-43334-7.
  2. ^ Mcgerty, Kevin (2016). "ÁLGEBRA II: ANILLOS Y MÓDULOS" (PDF) .
  3. ^ Ash, Robert. "Fundamentos del módulo" (PDF) . Álgebra abstracta: el año básico de posgrado .
  4. ^ Jacobson (1964), pág. 4, definición 1

Referencias

Enlaces externos