Homomorfismo del módulo

Mapa lineal sobre un anillo.

En álgebra , un homomorfismo de módulo es una función entre módulos que preserva las estructuras de los módulos. Explícitamente, si M y N son módulos dejados sobre un anillo R , entonces una función se llama homomorfismo de módulo R o mapa lineal R si para cualquier x , y en M y r en R , ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$

${\displaystyle f(rx)=rf(x).}$

En otras palabras, f es un homomorfismo de grupo (para los grupos aditivos subyacentes) que conmuta con la multiplicación escalar. Si M , N son módulos R correctos , entonces la segunda condición se reemplaza con

${\displaystyle f(xr)=f(x)r.}$

La preimagen del elemento cero bajo f se llama núcleo de f . El conjunto de todos los homomorfismos de módulos de M a N se denota por . Es un grupo abeliano (bajo suma puntual) pero no es necesariamente un módulo a menos que R sea conmutativo . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

La composición de los homomorfismos de módulo es nuevamente un homomorfismo de módulo, y el mapa de identidad de un módulo es un homomorfismo de módulo. Por lo tanto, todos los módulos (digamos a la izquierda) junto con todos los homomorfismos de módulos entre ellos forman la categoría de módulos .

Terminología

Un homomorfismo de módulo se llama isomorfismo de módulo si admite un homomorfismo inverso; en particular, es una biyección . Por el contrario, se puede demostrar que un homomorfismo de módulo biyectivo es un isomorfismo; es decir, lo inverso es un homomorfismo de módulo. En particular, un homomorfismo de módulo es un isomorfismo si y sólo si es un isomorfismo entre los grupos abelianos subyacentes.

Los teoremas de isomorfismo son válidos para homomorfismos de módulos.

Un homomorfismo de módulo de un módulo M a sí mismo se llama endomorfismo y un isomorfismo de M a sí mismo, automorfismo . Se escribe para el conjunto de todos los endomorfismos de un módulo M . No es sólo un grupo abeliano sino también un anillo con multiplicación dada por la composición de funciones, llamado anillo de endomorfismo de M. El grupo de unidades de este anillo es el grupo de automorfismos de M. ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}$

El lema de Schur dice que un homomorfismo entre módulos simples (módulos sin submódulos no triviales ) debe ser cero o un isomorfismo. En particular, el anillo de endomorfismo de un módulo simple es un anillo de división .

En el lenguaje de la teoría de categorías , un homomorfismo inyectivo también se llama monomorfismo y un homomorfismo sobreyectivo, epimorfismo .

Ejemplos

• El mapa cero M → N que asigna cada elemento a cero.
• Una transformación lineal entre espacios vectoriales .
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)}$.
• Para un anillo conmutativo R e ideales I , J , existe la identificación canónica

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J}$

dada por . En particular, es el aniquilador de I. ${\displaystyle f\mapsto f(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}$

• Dado un anillo R y un elemento r , denotemos la multiplicación por la izquierda por r . Entonces, para cualquier s , t en R , ${\displaystyle l_{r}:R\to R}$

  ${\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}$.

Es decir, es correcto R -lineal. ${\displaystyle l_{r}}$

• Para cualquier anillo R ,
  • ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R}$como anillos cuando R se ve como un módulo derecho sobre sí mismo. Explícitamente, este isomorfismo viene dado por la representación regular izquierda . ${\displaystyle R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}$
  • De manera similar, como anillos cuando R se ve como un módulo izquierdo sobre sí mismo. Los libros de texto u otras referencias suelen especificar qué convención se utiliza. ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}$a través de cualquier módulo izquierdo M . ^[1] (La estructura del módulo en Hom aquí proviene de la acción R derecha en R ; consulte #Estructuras de módulos en Hom a continuación). ${\displaystyle f\mapsto f(1)}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$se llama módulo dual de M ; es un módulo izquierdo (o derecho) si M es un módulo derecho (o izquierdo) sobre R con la estructura del módulo proveniente de la acción R en R . Se denota por . ${\displaystyle M^{*}}$
• Dado un homomorfismo de anillo R → S de anillos conmutativos y un módulo S M , un mapa lineal R θ: ​​S → M se llama derivación si para cualquier f , g en S , θ( fg ) = f θ( g ) + θ( f ) gramo .
• Si S , T son álgebras asociativas unitales sobre un anillo R , entonces un homomorfismo de álgebra de S a T es un homomorfismo de anillo que también es un homomorfismo de módulo R.

Estructuras de módulos en Hom

En resumen, Hom hereda una acción de anillo que no se utilizó para formar Hom. Más precisamente, dejemos que M , N sean R -módulos. Supongamos que M tiene una acción derecha de un anillo S que conmuta con la acción R ; es decir, M es un módulo ( R , S ). Entonces

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

tiene la estructura de un módulo S izquierdo definido por: para s en S y x en M ,

${\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}$

Está bien definido (es decir, es R -lineal) ya que ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}$

y es una acción de anillo ya que ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}$.

Nota: la verificación anterior "fallaría" si se utilizara la acción R izquierda en lugar de la acción S derecha . En este sentido, a menudo se dice que Hom "agota" la acción R.

De manera similar, si M es un módulo R izquierdo y N es un módulo ( R , S ), entonces es un módulo S derecho por . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$ ${\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}$

Una representación matricial

La relación entre matrices y transformaciones lineales en álgebra lineal se generaliza de forma natural a homomorfismos de módulos entre módulos libres. Precisamente, dado un módulo R derecho U , existe el isomorfismo canónico de los grupos abelianos

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim }{\to }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))}$

obtenido viendo que consta de vectores de columna y luego escribiendo f como una matriz m × n . En particular, viendo R como un módulo R derecho y usando , se tiene ${\displaystyle U^{\oplus n}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}$,

lo que resulta ser un isomorfismo de anillo (ya que una composición corresponde a una multiplicación de matrices ).

Tenga en cuenta que el isomorfismo anterior es canónico; no hay elección involucrada. Por otro lado, si se da un homomorfismo de módulo entre módulos libres de rango finito , entonces la elección de una base ordenada corresponde a la elección de un isomorfismo . El procedimiento anterior proporciona entonces la representación matricial con respecto a tales elecciones de bases. Para módulos más generales, las representaciones matriciales pueden carecer de unicidad o no existir. ${\displaystyle F\simeq R^{n}}$

Definiendo

En la práctica, a menudo se define un homomorfismo de módulo especificando sus valores en un conjunto generador . Más precisamente, dejemos que M y N sean R -módulos. Supongamos que un subconjunto S genera M ; es decir, hay una sobreyección con un módulo F libre con una base indexada por S y un núcleo K (es decir, se tiene una presentación libre ). Entonces, dar un homomorfismo de módulo es dar un homomorfismo de módulo que mata a K (es decir, asigna K a cero). ${\displaystyle F\to M}$ ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle F\to N}$

Operaciones

Si y son homomorfismos de módulo, entonces su suma directa es ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle g:M'\to N'}$

${\displaystyle f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}$

y su producto tensorial es

${\displaystyle f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}$

Sea un homomorfismo de módulo entre módulos de la izquierda. La gráfica Γ _f de f es el submódulo de M ⊕ N dado por ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}$,

que es la imagen del homomorfismo del módulo M → M ⊕ N , x → ( x , f ( x ) ), llamado morfismo gráfico .

La transpuesta de f es

${\displaystyle f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.}$

Si f es un isomorfismo, entonces la transpuesta de la inversa de f se llama contragrediente de f .

Secuencias exactas

Considere una secuencia de homomorfismos de módulo.

${\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}$

Tal secuencia se llama cadena compleja (o, a menudo, simplemente compleja) si cada composición es cero; es decir, o equivalentemente, la imagen de está contenida en el núcleo de . (Si los números aumentan en lugar de disminuir, entonces se llama complejo de cocadena; por ejemplo, complejo de Rham ). Un complejo de cadena se llama secuencia exacta si . Un caso especial de secuencia exacta es una secuencia exacta corta: ${\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}$ ${\displaystyle f_{i+1}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}$

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {g}{\to }}C\to 0}$

donde es inyectivo, el núcleo de es la imagen de y es sobreyectivo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Cualquier homomorfismo de módulo define una secuencia exacta. ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle 0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,}$

donde es el núcleo de , y es el cokernel, es decir el cociente de por la imagen de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$

En el caso de módulos sobre un anillo conmutativo , una secuencia es exacta si y sólo si es exacta en todos los ideales máximos ; eso es todo secuencias

${\displaystyle 0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m}}\to 0}$

son exactos, donde el subíndice significa la localización en un ideal máximo . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Si son homomorfismos de módulo, entonces se dice que forman un cuadrado de fibra (o cuadrado de retroceso ), denotado por M × _B N , si encaja en ${\displaystyle f:M\to B,g:N\to B}$

${\displaystyle 0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0}$

dónde . ${\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x)}$

Ejemplo: Sean anillos conmutativos y sea I el aniquilador del cociente B -módulo A / B (que es un ideal de A ). Entonces los mapas canónicos forman un cuadrado de fibra con ${\displaystyle B\subset A}$ ${\displaystyle A\to A/I,B/I\to A/I}$ ${\displaystyle B=A\times _{A/I}B/I.}$

Endomorfismos de módulos generados finitamente.

Sea un endomorfismo entre R -módulos finitamente generados para un anillo conmutativo R. Entonces ${\displaystyle \phi :M\to M}$

• ${\displaystyle \phi }$es matado por su polinomio característico en relación con los generadores de M ; ver el lema #Proof de Nakayama .
• Si es sobreyectivo, entonces es inyectivo. ^[2] ${\displaystyle \phi }$

Ver también: cociente de Herbrand (que puede definirse para cualquier endomorfismo con algunas condiciones de finitud).

Variante: relaciones aditivas

Una relación aditiva de un módulo M a un módulo N es un submódulo de ^[3] En otras palabras, es un homomorfismo " multivaluado " definido en algún submódulo de M. El inverso de f es el submódulo . Cualquier relación aditiva f determina un homomorfismo de un submódulo de M a un cociente de N ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle M\oplus N.}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}$

${\displaystyle D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}}$

donde consta de todos los elementos x en M tales que ( x , y ) pertenece a f para alguna y en N . ${\displaystyle D(f)}$

Una transgresión que surge de una secuencia espectral es un ejemplo de relación aditiva.

Ver también

• Cono de mapeo (álgebra homológica)
• Forma normal de Smith
• complejo de cadena
• Emparejamiento

Notas

1. Bourbaki, cap. II, §1.14, observación 2.
2. Matsumura, Teorema 2.4.
3. MacLane, Saunders (6 de diciembre de 2012). Homología. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 9783642620294.

Referencias

• Bourbaki, "Capítulo II", Álgebra^{[ se necesita cita completa ]}
• S. MacLane, Homología ^{[ cita completa necesaria ]}
• Matsumura, H., Teoría del anillo conmutativo , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 8, traducido del japonés por M. Reid (Segunda ed.)