Forma normal de Jordania

Forma de una matriz que indica sus valores propios y sus multiplicidades algebraicas.

Ejemplo de matriz en forma normal de Jordan. Todas las entradas de la matriz que no se muestran son cero. Los cuadrados delineados se conocen como "bloques Jordan". Cada bloque de Jordan contiene un número lambda en su diagonal principal y otros por encima de la diagonal principal. Las lambdas son los valores propios de la matriz; no necesitan ser distintos.

En álgebra lineal , una forma normal de Jordan , también conocida como forma canónica de Jordan ( JCF ), ^{[1] [2]} es una matriz triangular superior de una forma particular llamada matriz de Jordan que representa un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita. con respecto a alguna base . Dicha matriz tiene cada entrada fuera de la diagonal distinta de cero igual a 1, inmediatamente encima de la diagonal principal (en la superdiagonal ), y con entradas diagonales idénticas a la izquierda y debajo de ellas.

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Entonces existe una base con respecto a la cual la matriz tiene la forma requerida si y sólo si todos los valores propios de la matriz se encuentran en K , o de manera equivalente si el polinomio característico del operador se divide en factores lineales sobre K. Esta condición siempre se cumple si K es algebraicamente cerrado (por ejemplo, si es el cuerpo de números complejos ). Las entradas diagonales de la forma normal son los valores propios (del operador), y el número de veces que ocurre cada valor propio se llama multiplicidad algebraica del valor propio. ^{[3] [4] [5]}

Si el operador viene dado originalmente por una matriz cuadrada M , entonces su forma normal de Jordan también se llama forma normal de Jordan de M. Cualquier matriz cuadrada tiene una forma normal de Jordan si el campo de coeficientes se extiende a uno que contenga todos los valores propios de la matriz. A pesar de su nombre, la forma normal para una M dada no es del todo única, ya que se trata de una matriz diagonal de bloques formada por bloques de Jordan , cuyo orden no es fijo; Es convencional agrupar bloques para el mismo valor propio, pero no se impone ningún orden entre los valores propios, ni entre los bloques para un valor propio dado, aunque este último podría, por ejemplo, ordenarse por tamaño ligeramente decreciente. ^{[3] [4] [5]}

La descomposición Jordan-Chevalley es particularmente simple con respecto a una base para la cual el operador toma su forma normal de Jordan. La forma diagonal de matrices diagonalizables , por ejemplo matrices normales , es un caso especial de la forma normal de Jordan. ^{[6] [7] [8]}

La forma normal de Jordan lleva el nombre de Camille Jordan , quien estableció por primera vez el teorema de descomposición de Jordan en 1870. ^[9]

Descripción general

Notación

Algunos libros de texto tienen los de la subdiagonal ; es decir, inmediatamente debajo de la diagonal principal en lugar de en la superdiagonal. Los valores propios todavía están en la diagonal principal. ^{[10] [11]}

Motivación

Una matriz A de n × n es diagonalizable si y sólo si la suma de las dimensiones de los espacios propios es n . O, de manera equivalente, si y sólo si A tiene n vectores propios linealmente independientes . No todas las matrices son diagonalizables; Las matrices que no son diagonalizables se llaman matrices defectuosas . Considere la siguiente matriz:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{*{20}{r}}5&4&2&1\\[2pt]0&1&-1&-1\\[2pt]-1&-1&3&0\\[2pt]1&1&-1&2\end{array}}\right].}$

Incluyendo la multiplicidad, los valores propios de A son λ = 1, 2, 4, 4. La dimensión del espacio propio correspondiente al valor propio 4 es 1 (y no 2), por lo que A no es diagonalizable. Sin embargo, existe una matriz P invertible tal que J = P ⁻¹ AP , donde

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\[2pt]0&2&0&0\\[2pt]0&0&4&1\\[2pt]0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

La matriz es casi diagonal. Ésta es la forma normal de Jordan de A. La sección Ejemplo a continuación completa los detalles del cálculo. ${\displaystyle J}$

Matrices complejas

En general, una matriz cuadrada compleja A es similar a una matriz diagonal de bloques

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{p}\end{bmatrix}}}$

donde cada bloque Ji _es una matriz cuadrada de la forma

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&\;&\;\\\;&\lambda _{i}&\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda _{i}\end{bmatrix}}.}$

Entonces existe una matriz invertible P tal que P ⁻¹ AP = J es tal que las únicas entradas distintas de cero de J están en la diagonal y la superdiagonal. J se llama forma normal de Jordan de A. Cada Ji _se llama bloque Jordan de A. En un bloque Jordan determinado, cada entrada en la superdiagonal es 1.

Asumiendo este resultado, podemos deducir las siguientes propiedades:

• Contando multiplicidades, los valores propios de J , y por tanto de A , son las entradas diagonales.
• Dado un valor propio λ _i , su multiplicidad geométrica es la dimensión de ker( A − λ _i I ), donde I es la matriz identidad , y es el número de bloques de Jordan correspondientes a λ _i . ^[12]
• La suma de los tamaños de todos los bloques de Jordan correspondientes a un valor propio λ _i es su multiplicidad algebraica . ^[12]
• A es diagonalizable si y sólo si, para cada valor propio λ de A , sus multiplicidades geométrica y algebraica coinciden. En particular, los bloques de Jordan en este caso son matrices de 1×1; es decir, escalares.
• El bloque de Jordan correspondiente a λ tiene la forma λI  +  N , donde N es una matriz nilpotente definida como N _ij = δ _{i , j −1} (donde δ es el delta de Kronecker ). La nilpotencia de N se puede explotar al calcular f ( A ) donde f es una función analítica compleja. Por ejemplo, en principio, la forma de Jordan podría dar una expresión cerrada para la exponencial exp( A ).
• El número de bloques Jordan correspondientes a λ _i de tamaño al menos j es dim ker( A  −  λ _i I ) ^j  − dim ker( A  −  λ _i I ) ^{j −1} . Por tanto, el número de bloques Jordan de tamaño j es

  ${\displaystyle 2\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j+1}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j-1}}$

• Dado un valor propio λ _i , su multiplicidad en el polinomio mínimo es el tamaño de su bloque Jordan más grande.

Ejemplo

Considere la matriz del ejemplo de la sección anterior. La forma normal de Jordan se obtiene mediante alguna transformación de similitud : ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P^{-1}AP=J;}$eso es, ${\displaystyle AP=PJ.}$

Tengamos vectores de columna ,, entonces ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,4}$

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&2p_{2}&4p_{3}&p_{3}+4p_{4}\end{bmatrix}}.}$

Vemos eso

${\displaystyle (A-1I)p_{1}=0}$

${\displaystyle (A-2I)p_{2}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{4}=p_{3}.}$

Porque tenemos , es decir, un vector propio de correspondiente al valor propio . Porque , multiplicar ambos lados por da ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle p_{i}\in \ker(A-\lambda _{i}I)}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle i=4}$ ${\displaystyle (A-4I)}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=(A-4I)p_{3}.}$

Pero entonces ${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=0.}$

De este modo, ${\displaystyle p_{4}\in \ker(A-4I)^{2}.}$

Vectores como los que se denominan vectores propios generalizados de A . ${\displaystyle p_{4}}$

Ejemplo: obtención de la forma normal

Este ejemplo muestra cómo calcular la forma normal de Jordan de una matriz determinada.

Considere la matriz

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{array}}\right]}$

que se menciona al principio del artículo.

El polinomio característico de A es

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\lambda )&=\det(\lambda I-A)\\&=\lambda ^{4}-11\lambda ^{3}+42\lambda ^{2}-64\lambda +32\\&=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4)^{2}.\,\end{aligned}}}$

Esto muestra que los valores propios son 1, 2, 4 y 4, según la multiplicidad algebraica. El espacio propio correspondiente al valor propio 1 se puede encontrar resolviendo la ecuación Av = λv . Está abarcado por el vector columna v = (−1, 1, 0, 0) ^T . De manera similar, el espacio propio correspondiente al valor propio 2 está abarcado por w = (1, −1, 0, 1) ^T. Finalmente, el espacio propio correspondiente al valor propio 4 también es unidimensional (aunque se trata de un valor propio doble) y está abarcado por x = (1, 0, −1, 1) ^T. Entonces, la multiplicidad geométrica (es decir, la dimensión del espacio propio del valor propio dado) de cada uno de los tres valores propios es uno. Por tanto, los dos valores propios iguales a 4 corresponden a un único bloque de Jordan, y la forma normal de Jordan de la matriz A es la suma directa

${\displaystyle J=J_{1}(1)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(4)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Hay tres cadenas Jordan . Dos tienen longitud uno: { v } y { w }, correspondientes a los valores propios 1 y 2, respectivamente. Hay una cadena de longitud dos correspondiente al valor propio 4. Para encontrar esta cadena, calcule

${\displaystyle \ker(A-4I)^{2}=\operatorname {span} \,\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}},\left[{\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}}\right]\right\}}$

donde I es la matriz identidad de 4 × 4. Elija un vector en el intervalo anterior que no esté en el núcleo de A  − 4 I ; por ejemplo, y = (1,0,0,0) ^T . Ahora, ( A  − 4 I ) y = x y ( A  − 4 I ) x = 0, entonces { y , x } es una cadena de longitud dos correspondiente al valor propio 4.

La matriz de transición P tal que P ⁻¹ AP = J se forma poniendo estos vectores uno al lado del otro de la siguiente manera

${\displaystyle P=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}v&w&x&y\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1&1&1\\1&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&1&0\end{array}}\right].}$

Un cálculo muestra que la ecuación P ⁻¹ AP = J efectivamente se cumple.

${\displaystyle P^{-1}AP=J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Si hubiéramos intercambiado el orden en que aparecieron los vectores de la cadena, es decir, cambiando el orden de v , w y { x , y } juntos, los bloques de Jordan se intercambiarían. Sin embargo, las formas Jordan son formas Jordan equivalentes.

Vectores propios generalizados

Dado un valor propio λ , cada bloque de Jordan correspondiente da lugar a una cadena de Jordan de vectores linealmente independientes p _i , i = 1 , ..., b , donde b es el tamaño del bloque de Jordan. El generador , o vector principal , p _b de la cadena es un vector propio generalizado tal que ( A − λ I ) ^b p _b = 0. El vector p ₁ = ( A − λ I ) ^{b −1} p _b es un vector propio ordinario correspondiente a λ . En general, p _i es una preimagen de p _{i −1} bajo A − λ I . Entonces , el vector principal genera la cadena mediante la multiplicación por A − λ I. ^{[13] [2]} Por lo tanto, la afirmación de que cada matriz cuadrada A se puede poner en la forma normal de Jordan es equivalente a la afirmación de que el espacio vectorial subyacente tiene una base compuesta por cadenas de Jordan.

Una prueba

Damos una prueba por inducción de que cualquier matriz cuadrada A de valores complejos puede expresarse en forma normal de Jordan. Dado que se puede demostrar que el espacio vectorial subyacente ^[14] es la suma directa de subespacios invariantes asociados con los valores propios, se puede suponer que A tiene solo un valor propio λ . El caso 1×1 es trivial. Sea A una matriz de n × n . El rango de A − λ I , denotado por Ran( A − λ I ), es un subespacio invariante de A . Además, dado que λ es un valor propio de A , la dimensión de Ran( A − λ I ), r , es estrictamente menor que n , por lo que, según la hipótesis inductiva, Ran( A − λ I ) tiene una base { p ₁ , ..., p _r } compuesto por cadenas Jordan.

Consideremos ahora el núcleo , es decir, el subespacio ker( A  −  λ I ). Si

${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)=\{0\},}$

el resultado deseado se desprende inmediatamente del teorema de nulidad de rango . (Éste sería el caso, por ejemplo, si A fuera hermitiano .)

De lo contrario, si

${\displaystyle Q=\operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)\neq \{0\},}$

sea ​​la dimensión de Q s  ≤  r . Cada vector en Q es un vector propio, por lo que Ran( A  −  λ I ) debe contener s cadenas de Jordan correspondientes a s vectores propios linealmente independientes. Por lo tanto, la base { p ₁ , ..., p _r } debe contener s vectores, digamos { p _{r − s +1} , ..., p _r }, que son vectores principales de estas cadenas de Jordan. Podemos "extender las cadenas" tomando las preimágenes de estos vectores principales. (Éste es el paso clave.) Sea q _i tal que

${\displaystyle \;(A-\lambda I)q_{i}=p_{i}{\mbox{ for }}i=r-s+1,\ldots ,r.}$

El conjunto { q _i }, al ser preimágenes del conjunto linealmente independiente { p _i } bajo A − λ I , también es linealmente independiente. Claramente, ninguna combinación lineal no trivial de q _i puede encontrarse en ker( A  −  λI ), porque { p _i } _{i = r − s +1, ..., r} es linealmente independiente. Además, ninguna combinación lineal no trivial de q _i puede pertenecer a Ran( A − λ I ) porque entonces sería una combinación lineal de los vectores básicos p ₁ , ..., p _r , y esta combinación lineal tendría una contribución de vectores básicos no en ker( A − λI ) porque de lo contrario pertenecería a ker( A − λI ). La acción de A − λI en ambas combinaciones lineales produciría entonces una igualdad de una combinación lineal no trivial de vectores principales y una combinación lineal de vectores no principales, lo que contradeciría la independencia lineal de ( p ₁ , ... , p _r ).

Finalmente, podemos elegir cualquier conjunto linealmente independiente { z ₁ , ..., z _t } cuya proyección abarque

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)/Q.}$

Cada z _i forma una cadena de Jordan de longitud 1. Por construcción, la unión de los tres conjuntos { p ₁ , ..., p _r }, { q _{r − s +1} , ..., q _r } y { z ₁ , ..., z _t } es linealmente independiente y sus miembros se combinan para formar cadenas de Jordan. Finalmente, según el teorema de rango-nulidad, la cardinalidad de la unión es n . En otras palabras, hemos encontrado una base compuesta por cadenas de Jordan, y esto muestra que A se puede poner en la forma normal de Jordan.

Unicidad

Se puede demostrar que la forma normal de Jordan de una matriz A dada es única hasta el orden de los bloques de Jordan.

Conocer las multiplicidades algebraicas y geométricas de los valores propios no es suficiente para determinar la forma normal de Jordan de A. Suponiendo que se conoce la multiplicidad algebraica m ( λ ) de un valor propio λ , la estructura de la forma de Jordan se puede determinar analizando los rangos de las potencias ( A − λI ) ^{m ( λ )} . Para ver esto, supongamos que una matriz A de n × n tiene solo un valor propio λ . Entonces m ( λ ) = n . El entero más pequeño k ₁ tal que

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}}=0}$

es el tamaño del bloque Jordan más grande en la forma Jordan de A. (Este número k ₁ también se llama índice de λ . Consulte la discusión en la sección siguiente). El rango de

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-1}}$

es el número de bloques Jordan de tamaño k ₁ . De manera similar, el rango de

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-2}}$

es el doble del número de bloques Jordan de tamaño k ₁ más el número de bloques Jordan de tamaño k ₁  − 1. El caso general es similar.

Esto se puede utilizar para mostrar la singularidad de la forma Jordan. Sean J ₁ y J ₂ dos formas normales de Jordan de A . Entonces J ₁ y J ₂ son similares y tienen el mismo espectro, incluidas las multiplicidades algebraicas de los valores propios. Para determinar la estructura de estas matrices se puede utilizar el procedimiento descrito en el párrafo anterior. Dado que el rango de una matriz se conserva mediante transformación de similitud, existe una biyección entre los bloques de Jordan de J ₁ y J ₂ . Esto prueba la parte de unicidad de la declaración.

Matrices reales

Si A es una matriz real, su forma de Jordan aún puede ser no real. En lugar de representarlo con valores propios complejos y unos en la superdiagonal, como se analizó anteriormente, existe una matriz real invertible P tal que P ⁻¹ AP = J es una matriz diagonal de bloque real en la que cada bloque es un bloque de Jordan real. ^[15] Un bloque de Jordan real es idéntico a un bloque de Jordan complejo (si el valor propio correspondiente es real), o es una matriz de bloques en sí misma, que consta de bloques de 2×2 (para valores propios no reales con multiplicidad algebraica dada) del forma ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=a_{i}+ib_{i}}$

${\displaystyle C_{i}=\left[{\begin{array}{rr}a_{i}&-b_{i}\\b_{i}&a_{i}\\\end{array}}\right]}$

y describir la multiplicación por en el plano complejo. Los bloques superdiagonales son matrices identidad de 2 × 2 y, por lo tanto, en esta representación las dimensiones de la matriz son mayores que la forma compleja de Jordan. El bloque real completo de Jordan está dado por ${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}C_{i}&I&&\\&C_{i}&\ddots &\\&&\ddots &I\\&&&C_{i}\end{bmatrix}}.}$

Esta forma real de Jordan es una consecuencia de la forma compleja de Jordan. Para una matriz real, los vectores propios no reales y los vectores propios generalizados siempre se pueden elegir para formar pares conjugados complejos . Tomando la parte real e imaginaria (combinación lineal del vector y su conjugado), la matriz tiene esta forma con respecto a la nueva base.

Matrices con entradas en un campo.

La reducción de Jordan se puede extender a cualquier matriz cuadrada M cuyas entradas se encuentren en un campo K. El resultado indica que cualquier M puede escribirse como una suma D + N donde D es semisimple , N es nilpotente y DN = ND . Esto se llama descomposición Jordan-Chevalley . Siempre que K contiene los valores propios de M , en particular cuando K es algebraicamente cerrado , la forma normal se puede expresar explícitamente como la suma directa de bloques de Jordan.

Similar al caso cuando K son los números complejos, conocer las dimensiones de los núcleos de ( M − λI ) ^k para 1 ≤ k ≤ m , donde m es la multiplicidad algebraica del valor propio λ , permite determinar la forma de Jordan de M. ​Podemos ver el espacio vectorial subyacente V como un módulo K [ x ] considerando la acción de x sobre V como una aplicación de M y extendiéndola por K -linealidad. Entonces los polinomios ( x  −  λ ) ^k son los divisores elementales de M , y la forma normal de Jordan se ocupa de representar M en términos de bloques asociados a los divisores elementales.

La demostración de la forma normal de Jordan se suele realizar como una aplicación al anillo K [ x ] del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal , del cual es corolario.

Consecuencias

Se puede ver que la forma normal de Jordan es esencialmente un resultado de clasificación para matrices cuadradas y, como tal, varios resultados importantes del álgebra lineal pueden verse como sus consecuencias.

Teorema del mapeo espectral

Usando la forma normal de Jordan, el cálculo directo proporciona un teorema de mapeo espectral para el cálculo funcional polinómico : Sea A una matriz n × n con valores propios λ ₁ , ..., λ _n , entonces para cualquier polinomio p , p ( A ) tiene valores propios p ( λ ₁ ), ..., p ( λ _n ).

Polinomio característico

El polinomio característico de A es . Matrices similares tienen el mismo polinomio característico. Por lo tanto , donde está la raíz i- ésima de y es su multiplicidad, porque éste es claramente el polinomio característico de la forma de Jordan de A. ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I-A)}$ ${\textstyle p_{A}(\lambda )=p_{J}(\lambda )=\prod _{i}(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\textstyle p_{J}}$ ${\displaystyle m_{i}}$

Teorema de Cayley-Hamilton

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que toda matriz A satisface su ecuación característica: si p es el polinomio característico de A , entonces . Esto se puede demostrar mediante cálculo directo en la forma de Jordan, ya que si es un valor propio de multiplicidad , entonces su bloque de Jordan satisface claramente . Como los bloques diagonales no se afectan entre sí, el i- ésimo bloque diagonal de es ; por eso . ${\displaystyle p_{A}(A)=0}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$ ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ ${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$ ${\textstyle p_{A}(A)=\prod _{i}(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$

Se puede suponer que la forma de Jordan existe sobre un campo que extiende el campo base de la matriz, por ejemplo, sobre el campo de división de p ; esta extensión de campo no cambia la matriz p ( A ) de ninguna manera.

Polinomio mínimo

El polinomio mínimo P de una matriz cuadrada A es el polinomio mónico único de menor grado, m , tal que P ( A ) = 0. Alternativamente, el conjunto de polinomios que aniquilan un A dado forman un I ideal en C [ x ], el principal dominio ideal de polinomios con coeficientes complejos. El elemento mónico que genera I es precisamente P .

Sean λ ₁ , ..., λ _q los valores propios distintos de A , y s _i el tamaño del bloque de Jordan más grande correspondiente a λ _i . De la forma normal de Jordan se desprende claramente que el polinomio mínimo de A tiene grado Σ s _i .

Si bien la forma normal de Jordan determina el polinomio mínimo, lo contrario no es cierto. Esto lleva a la noción de divisores elementales . Los divisores elementales de una matriz cuadrada A son los polinomios característicos de sus bloques de Jordan. Los factores del polinomio mínimo m son los divisores elementales de mayor grado correspondientes a distintos valores propios.

El grado de un divisor elemental es el tamaño del bloque de Jordan correspondiente y, por lo tanto, la dimensión del subespacio invariante correspondiente. Si todos los divisores elementales son lineales, A es diagonalizable.

Descomposiciones subespaciales invariantes

La forma de Jordan de una matriz A de n × n es diagonal de bloque y, por lo tanto , proporciona una descomposición del espacio euclidiano de n dimensiones en subespacios invariantes de A. Cada bloque de Jordan _Ji corresponde a un subespacio _invariante Xi . Simbólicamente ponemos

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{k}X_{i}}$

donde cada X _i es el tramo de la cadena Jordan correspondiente y k es el número de cadenas Jordan.

También se puede obtener una descomposición ligeramente diferente mediante la forma de Jordan. Dado un valor propio λ _i , el tamaño de su bloque Jordan correspondiente más grande s _i se denomina índice de λ _i y se denota por v ( λ _i ). (Por lo tanto, el grado del polinomio mínimo es la suma de todos los índices). Defina un subespacio Y _i por

${\displaystyle Y_{i}=\ker(\lambda _{i}I-A)^{v(\lambda _{i})}.}$

Esto da la descomposición

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{l}Y_{i}}$

donde l es el número de valores propios distintos de A . Intuitivamente, agrupamos los subespacios invariantes del bloque de Jordan correspondientes al mismo valor propio. En el caso extremo donde A es múltiplo de la matriz identidad tenemos k = n y l = 1.

La proyección sobre Y _i y a lo largo de todos los demás Y _j ( j ≠ i ) se llama proyección espectral de A en v _i y generalmente se denota por P ( λ _i  ; A ) . Las proyecciones espectrales son mutuamente ortogonales en el sentido de que P ( λ _i  ; A ) P (v _j  ; A ) = 0 si i ≠ j . También conmutan con A y su suma es la matriz identidad. Reemplazar cada v _i en la matriz de Jordan J por uno y poner a cero todas las demás entradas da P (v _i  ; J ), además, si UJU ⁻¹ es la transformación de similitud tal que A = UJU ⁻¹ entonces P ( λ _i  ; A ) = ARRIBA ( λ _yo  ; J ) U ⁻¹ . No se limitan a dimensiones finitas. Consulte a continuación su aplicación a operadores compactos y en cálculo funcional holomórfico para una discusión más general.

Comparando las dos descomposiciones, observe que, en general, l ≤ k . Cuando A es normal, los subespacios X _i en la primera descomposición son unidimensionales y mutuamente ortogonales. Este es el teorema espectral para operadores normales. La segunda descomposición se generaliza más fácilmente para operadores compactos generales en espacios de Banach.

Podría ser interesante aquí observar algunas propiedades del índice, ν ( λ ). De manera más general, para un número complejo λ , su índice se puede definir como el entero menos no negativo ν ( λ ) tal que

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)^{\nu (\lambda )}=\ker(A-\lambda I)^{m},\;\forall m\geq \nu (\lambda ).}$

Entonces ν (v) > 0 si y sólo si λ es un valor propio de A . En el caso de dimensión finita, ν (v) ≤ la multiplicidad algebraica de v.

Forma normal plana (plana)

La forma de Jordan se utiliza para encontrar una forma normal de matrices hasta la conjugación, de modo que las matrices normales formen una variedad algebraica de un grado fijo bajo en el espacio matricial ambiental.

Los conjuntos de representantes de clases de conjugación matricial para la forma normal de Jordan o las formas canónicas racionales en general no constituyen subespacios lineales o afines en los espacios matriciales ambientales.

Vladimir Arnold planteó ^[16] un problema: encontrar una forma canónica de matrices sobre un campo para el cual el conjunto de representantes de clases de conjugación de matrices sea una unión de subespacios lineales afines (planos). En otras palabras, mapear el conjunto de clases de conjugación de matrices inyectivamente nuevamente en el conjunto inicial de matrices de modo que la imagen de esta incrustación (el conjunto de todas las matrices normales, tenga el grado más bajo posible) sea una unión de subespacios lineales desplazados.

Peteris Daugulis lo resolvió para campos algebraicamente cerrados. ^[17] La ​​construcción de una forma normal plana definida de forma única de una matriz comienza considerando su forma normal de Jordan.

Funciones matriciales

La iteración de la cadena Jordan motiva varias extensiones a entornos más abstractos. Para matrices finitas, se obtienen funciones matriciales; esto se puede extender a operadores compactos y al cálculo funcional holomórfico, como se describe más adelante.

La forma normal de Jordan es la más conveniente para el cálculo de funciones matriciales (aunque puede que no sea la mejor opción para los cálculos por computadora). Sea f ( z ) una función analítica de un argumento complejo. La aplicación de la función en un bloque J de Jordan n × n con valor propio λ da como resultado una matriz triangular superior:

${\displaystyle f(J)={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f'(\lambda )&{\tfrac {f''(\lambda )}{2}}&\cdots &{\tfrac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f'(\lambda )&\cdots &{\tfrac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&f(\lambda )&f'(\lambda )\\0&0&0&0&f(\lambda )\end{bmatrix}},}$

de modo que los elementos de la k -ésima superdiagonal de la matriz resultante sean . Para una matriz de forma normal de Jordan general, la expresión anterior se aplicará a cada bloque de Jordan. ${\displaystyle {\tfrac {f^{(k)}(\lambda )}{k!}}}$

El siguiente ejemplo muestra la aplicación a la función de potencia f ( z ) =  z ⁿ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&1&0&0&0\\0&\lambda _{1}&1&0&0\\0&0&\lambda _{1}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&1\\0&0&0&0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&{\tbinom {n}{2}}\lambda _{1}^{n-2}&0&0\\0&\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&0&0\\0&0&\lambda _{1}^{n}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{2}^{n-1}\\0&0&0&0&\lambda _{2}^{n}\end{bmatrix}},}$

donde los coeficientes binomiales se definen como . Para un número entero positivo n, se reduce a la definición estándar de los coeficientes. Para n negativo, la identidad puede ser útil. ${\textstyle {\binom {n}{k}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}}}$ ${\textstyle {\binom {-n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}}$

Operadores compactos

Un resultado análogo a la forma normal de Jordan es válido para operadores compactos en un espacio de Banach . Uno se limita a operadores compactos porque cada punto x en el espectro de un operador compacto T es un valor propio; La única excepción es cuando x es el punto límite del espectro. Esto no es cierto para los operadores acotados en general. Para dar una idea de esta generalización, primero reformulamos la descomposición de Jordan en el lenguaje del análisis funcional.

Cálculo funcional holomorfo

Sea X un espacio de Banach, L ( X ) los operadores acotados en X y σ ( T ) denote el espectro de T ∈ L ( X ). El cálculo funcional holomorfo se define de la siguiente manera:

Arreglar un operador acotado T . Considere la familia Hol( T ) de funciones complejas que es holomorfa en algún conjunto abierto G que contiene σ ( T ). Sea Γ = { γ _i } una colección finita de curvas de Jordan tales que σ ( T ) se encuentra en el interior de Γ, definimos f ( T ) por

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(z)(z-T)^{-1}\,dz.}$

El conjunto abierto G podría variar con f y no necesita estar conectado. La integral se define como el límite de las sumas de Riemann, como en el caso escalar. Aunque la integral tiene sentido para f continua , nos restringimos a funciones holomorfas para aplicar la maquinaria de la teoría de funciones clásica (por ejemplo, la fórmula integral de Cauchy). La suposición de que σ ( T ) se encuentra en el interior de Γ garantiza que f ( T ) esté bien definida; no depende de la elección de Γ. El cálculo funcional es el mapeo Φ de Hol( T ) a L ( X ) dado por

${\displaystyle \;\Phi (f)=f(T).}$

Requeriremos las siguientes propiedades de este cálculo funcional:

1. Φ extiende el cálculo funcional polinomial.
2. El teorema de mapeo espectral se cumple: σ ( f ( T )) = f ( σ ( T )).
3. Φ es un homomorfismo de álgebra.

El caso de dimensión finita

En el caso de dimensión finita, σ ( T ) = { λ _i } es un conjunto finito discreto en el plano complejo. Sea e _i la función que es 1 en alguna vecindad abierta de λ _i y 0 en otros lugares. Por la propiedad 3 del cálculo funcional, el operador

${\displaystyle e_{i}(T)}$

es una proyección. Además, sea ν _i el índice de λ _i y

${\displaystyle f(z)=(z-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

El teorema del mapeo espectral nos dice

${\displaystyle f(T)e_{i}(T)=(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}e_{i}(T)}$

tiene espectro {0}. Por la propiedad 1, f ( T ) se puede calcular directamente en la forma de Jordan y, mediante inspección, vemos que el operador f ( T ) e _i ( T ) es la matriz cero.

Por la propiedad 3, f ( T ) e _i ( T ) = e _i ( T ) f ( T ). Entonces e _i ( T ) es precisamente la proyección sobre el subespacio

${\displaystyle \operatorname {Ran} e_{i}(T)=\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

La relación

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}=1}$

implica

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}\;\operatorname {Ran} e_{i}(T)=\bigoplus _{i}\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}$

donde el índice i recorre los distintos valores propios de T . Esta es la descomposición subespacial invariante.

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}Y_{i}}$

dado en una sección anterior. Cada e _i ( T ) es la proyección sobre el subespacio abarcado por las cadenas de Jordan correspondientes a λ _i y a lo largo de los subespacios abarcados por las cadenas de Jordan correspondientes a v _j para j ≠ i . En otras palabras, e _i ( T ) = P ( λ _i ; T ). Esta identificación explícita de los operadores e _i ( T ) da a su vez una forma explícita de cálculo funcional holomórfico para matrices:

Para todo f ∈ Hol( T ),

${\displaystyle f(T)=\sum _{\lambda _{i}\in \sigma (T)}\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {f^{(k)}}{k!}}(T-\lambda _{i})^{k}e_{i}(T).}$

Observe que la expresión de f ( T ) es una suma finita porque, en cada vecindad de vi _, hemos elegido la expansión en serie de Taylor de f centrada en _vi .

Polos de un operador

Sea T un operador acotado y λ sea un punto aislado de σ ( T ). (Como se indicó anteriormente, cuando T es compacto, cada punto de su espectro es un punto aislado, excepto posiblemente el punto límite 0.)

El punto λ se llama polo del operador T de orden ν si la función resolutiva R _T definida por

${\displaystyle R_{T}(\lambda )=(\lambda -T)^{-1}}$

tiene un polo de orden ν en λ .

Demostraremos que, en el caso de dimensión finita, el orden de un valor propio coincide con su índice. El resultado también es válido para operadores compactos.

Considere la región anular A centrada en el valor propio λ con un radio ε suficientemente pequeño como para que la intersección del disco abierto B _ε ( λ ) y σ ( T ) sea { λ }. La función resolutiva R _T es holomorfa en A . Ampliando un resultado de la teoría de funciones clásica, R _T tiene una representación en serie de Laurent en A :

${\displaystyle R_{T}(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{m}(\lambda -z)^{m}}$

dónde

${\displaystyle a_{-m}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}(\lambda -z)^{m-1}(z-T)^{-1}dz}$y C es un pequeño círculo centrado en  λ .

Por la discusión anterior sobre el cálculo funcional,

${\displaystyle a_{-m}=-(\lambda -T)^{m-1}e_{\lambda }(T)}$donde es 1 y 0 en otros lugares. ${\displaystyle e_{\lambda }}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(\lambda )}$

Pero hemos demostrado que el entero positivo más pequeño m tal que

${\displaystyle a_{-m}\neq 0}$y ${\displaystyle a_{-l}=0\;\;\forall \;l\geq m}$

es precisamente el índice de λ , ν ( λ ). En otras palabras, la función R _T tiene un polo de orden ν ( λ ) en λ .

Análisis numérico

Si la matriz A tiene múltiples valores propios, o está cerca de una matriz con múltiples valores propios, entonces su forma normal de Jordan es muy sensible a las perturbaciones. Consideremos, por ejemplo, la matriz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\\varepsilon &1\end{bmatrix}}.}$

Si ε = 0, entonces la forma normal de Jordan es simplemente

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Sin embargo, para ε ≠ 0, la forma normal de Jordan es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\sqrt {\varepsilon }}&0\\0&1-{\sqrt {\varepsilon }}\end{bmatrix}}.}$

Este mal condicionamiento hace que sea muy difícil desarrollar un algoritmo numérico robusto para la forma normal de Jordan, ya que el resultado depende fundamentalmente de si dos valores propios se consideran iguales. Por esta razón, la forma normal de Jordan suele evitarse en el análisis numérico ; la descomposición estable de Schur ^[18] o los pseudoespectros ^[19] son ​​mejores alternativas.

Ver también

• Base canónica
• Forma canónica
• Forma normal de Frobenius
• matriz de jordania
• Descomposición Jordania-Chevalley
• Descomposición matricial
• matriz modal
• Forma canónica de Weyr

Notas

1. Shilov define el término forma canónica de Jordan y en una nota a pie de página dice que la forma normal de Jordan es sinónimo. Estos términos a veces se abrevian a la forma jordana . (Shilov) El término forma canónica clásica también se utiliza a veces en el sentido de este artículo. (James y James, 1976)
2. Holt y Rumynin (2009, p.9)
3. Beauregard y Fraleigh (1973, págs. 310-316)
4. Golub y Van Loan (1996, p. 355)
5. Nering (1970, págs. 118-127)
6. Beauregard y Fraleigh (1973, págs. 270-274)
7. Préstamo Golub y Van (1996, pág.353)
8. Nering (1970, págs. 113-118)
9. Brechenmacher, "Histoire du théorème de Jordan de la décomposition matricielle (1870-1930). Formes de représentation et méthodes de décomposition", Tesis, 2007
10. Cullen (1966, pág.114)
11. Franklin (1968, pág.122)
12. Horn & Johnson (1985, §3.2.1)
13. Bronson (1970, págs.189, 194)
14. Roe Goodman y Nolan R. Wallach, Representaciones e invariantes de grupos clásicos , Cambridge UP 1998, Apéndice B.1.
15. Horn & Johnson (1985, teorema 3.4.5)
16. Arnold, Vladimir I, ed. (2004). Los problemas de Arnold . Springer-Verlag Berlín Heidelberg. pag. 127. doi : 10.1007/b138219. ISBN 978-3-540-20748-1.
17. Peteris Daugulis (2012). "Una parametrización de conjuntos de órbitas conjugadas de matrices como uniones de planos afines". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 436 (3): 709–721. arXiv : 1110.0907 . doi :10.1016/j.laa.2011.07.032. S2CID  119649768.
18. Véase Golub & Van Loan (2014), §7.6.5; o Golub y Wilkinson (1976) para más detalles.
19. Véase Golub & Van Loan (2014), §7.9

Referencias

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Bronson, Richard (1970), Métodos matriciales: una introducción , Nueva York: Academic Press , LCCN  70097490
• Cullen, Charles G. (1966), Matrices y transformaciones lineales , lectura: Addison-Wesley , LCCN  66021267
• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958), Operadores lineales, Parte I: Teoría general , Interciencia
• Finkbeiner II, Daniel T. (1978), Introducción a las matrices y transformaciones lineales (3.ª ed.), WH Freeman and Company
• Franklin, Joel N. (1968), Teoría de la matriz , Englewood Cliffs: Prentice-Hall , LCCN  68016345
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Computaciones matriciales (3.ª ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
• Golub, Gene H.; Wilkinson, JH (1976). "Sistemas propios mal condicionados y el cálculo de la forma normal de Jordan". Revisión SIAM . 18 (4): 578–619. doi :10.1137/1018113.
• Holt, Derek; Rumynin, Dmitriy (2009), Álgebra I - Álgebra lineal avanzada (MA251) Notas de la conferencia (PDF)
• Cuerno, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Análisis matricial , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6
• James, Glenn; James, Robert C. (1976), Diccionario de matemáticas (2ª ed.), Van Nostrand Reinhold
• MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Álgebra , Macmillan Publishers
• Michel, Antonio N.; Herget, Charles J. (1993), Álgebra aplicada y análisis funcional , Publicaciones de Dover
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2ª ed.), Nueva York: Wiley , LCCN  76091646
• Shafarevich, IR; Remizov, AO (2012), Álgebra lineal y geometría , Springer , ISBN 978-3-642-30993-9
• Shilov, Georgi E. (1977), Álgebra lineal , Publicaciones de Dover
• Artículo de Jordan Canonical Form en mathworld.wolfram.com