Aniquilador (teoría del anillo)

Ideal que asigna a cero un subconjunto de un módulo

En matemáticas , el aniquilador de un subconjunto S de un módulo sobre un anillo es el ideal formado por los elementos del anillo que dan siempre cero al multiplicarlos por cada elemento de S.

En un dominio integral , un módulo que tiene un aniquilador distinto de cero es un módulo de torsión , y un módulo de torsión generado finitamente tiene un aniquilador distinto de cero.

La definición anterior se aplica también en el caso de anillos no conmutativos , donde el aniquilador izquierdo de un módulo izquierdo es un ideal izquierdo, y el aniquilador derecho , de un módulo derecho, es un ideal derecho.

Definiciones

Sea R un anillo y sea M un módulo R izquierdo . Elija un subconjunto no vacío S de M . El aniquilador de S , denotado Ann _R ( S ), es el conjunto de todos los elementos r en R tales que, para todos los s en S , rs = 0 . ^[1] En notación de conjuntos,

${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0}$para todos ${\displaystyle s\in S\}}$

Es el conjunto de todos los elementos de R los que "aniquilan" a S (los elementos para los cuales S es un conjunto de torsión). También se pueden utilizar subconjuntos de módulos correctos, después de la modificación de " sr = 0 " en la definición.

El aniquilador de un solo elemento x generalmente se escribe Ann _R ( x ) en lugar de Ann _R ({ x }). Si el anillo R puede entenderse por el contexto, se puede omitir el subíndice R.

Dado que R es un módulo sobre sí mismo, se puede considerar que S es un subconjunto del propio R , y dado que R es un módulo R derecho e izquierdo , la notación debe modificarse ligeramente para indicar el lado izquierdo o derecho. Por lo general , se utiliza algún esquema de subíndice similar para distinguir los aniquiladores izquierdo y derecho, si es necesario. ${\displaystyle \ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,}$ ${\displaystyle r.\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,}$

Si M es un módulo R y Ann _R ( M ) = 0 , entonces M se llama módulo fiel .

Propiedades

Si S es un subconjunto de un módulo R izquierdo M , entonces Ann( S ) es un ideal izquierdo de R. ^[2]

Si S es un submódulo de M , entonces Ann _R ( S ) es incluso un ideal bilateral: ( ac ) s = a ( cs ) = 0, ya que cs es otro elemento de S. ^[3]

Si S es un subconjunto de M y N es el submódulo de M generado por S , entonces, en general, Ann _R ( N ) es un subconjunto de Ann _R ( S ), pero no son necesariamente iguales. Si R es conmutativo , entonces se cumple la igualdad.

M también puede verse como un módulo R /Ann _R ( M ) usando la acción . Por cierto, no siempre es posible convertir un módulo R en un módulo R / I de esta manera, pero si el I ideal es un subconjunto del aniquilador de M , entonces esta acción está bien definida. Considerado como un módulo R /Ann _R ( M ), M es automáticamente un módulo fiel. ${\displaystyle {\overline {r}}m:=rm\,}$

Para anillos conmutativos

A lo largo de esta sección, sean un anillo conmutativo y un módulo -generado finitamente . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

Relación con el apoyo

Recordemos que el soporte de un módulo se define como

${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\mid M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.}$

Luego, cuando el módulo se genera de forma finita, existe la relación

${\displaystyle V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Supp} M}$,

donde está el conjunto de ideales primos que contiene el subconjunto. ^[4] ${\displaystyle V(\cdot )}$

secuencias exactas cortas

Dada una secuencia corta y exacta de módulos,

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0,}$

la propiedad de soporte

${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M'',}$^[5]

junto con la relación con el aniquilador implica

${\displaystyle V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=V(\operatorname {Ann} _{R}(M'))\cup V(\operatorname {Ann} _{R}(M'')).}$

Más específicamente, tenemos las relaciones

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M')\cap \operatorname {Ann} _{R}(M'')\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M)\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M')\operatorname {Ann} _{R}(M'').}$

Si la secuencia se divide, entonces la desigualdad de la izquierda es siempre una igualdad. De hecho, esto es válido para sumas directas arbitrarias de módulos, como

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}\operatorname {Ann} _{R}(M_{i}).}$

Módulos de cociente y aniquiladores.

Dado un ideal y sea un módulo generado finitamente, entonces existe la relación ${\displaystyle I\subseteq R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\text{Supp}}(M/IM)=\operatorname {Supp} M\cap V(I)}$

en el soporte. Usando la relación con el apoyo, esto da la relación con el aniquilador ^[6]

${\displaystyle V({\text{Ann}}_{R}(M/IM))=V({\text{Ann}}_{R}(M))\cap V(I).}$

Ejemplos

sobre los números enteros

Cualquier módulo generado finitamente se clasifica completamente como la suma directa de su parte libre con su parte de torsión del teorema fundamental de los grupos abelianos. Entonces, el aniquilador de un módulo generado finitamente no es trivial sólo si es completamente de torsión. Esto es porque ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ^{\oplus k})=\{0\}=(0)}$

ya que el único elemento que mata a cada uno de ellos es . Por ejemplo, el aniquilador de es ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3}$

${\displaystyle {\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3)=(6)=({\text{lcm}}(2,3)),}$

el ideal generado por . De hecho, el aniquilador de un módulo de torsión. ${\displaystyle (6)}$

${\displaystyle M\cong \bigoplus _{i=1}^{n}(\mathbb {Z} /a_{i})^{\oplus k_{i}}}$

es isomorfo al ideal generado por su mínimo común múltiplo , . Esto muestra que los aniquiladores se pueden clasificar fácilmente en números enteros. ${\displaystyle (\operatorname {lcm} (a_{1},\ldots ,a_{n}))}$

Sobre un anillo conmutativo R

De hecho, existe un cálculo similar que se puede realizar para cualquier módulo presentado de forma finita sobre un anillo conmutativo . Recuerde que la definición de presentación finita de implica que existe una secuencia exacta, llamada presentación, dada por ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle R^{\oplus l}\xrightarrow {\phi } R^{\oplus k}\to M\to 0}$

donde esta en . Escribir explícitamente como una matriz lo da como ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\text{Mat}}_{k,l}(R)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi ={\begin{bmatrix}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,l}\\\vdots &&\vdots \\\phi _{k,1}&\cdots &\phi _{k,l}\end{bmatrix}};}$

por lo tanto tiene la descomposición de suma directa ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M=\bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {R}{(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,l}(1))}}}$

Si escribimos cada uno de estos ideales como

${\displaystyle I_{i}=(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,l}(1))}$

entonces el ideal dado por ${\displaystyle I}$

${\displaystyle V(I)=\bigcup _{i=1}^{k}V(I_{i})}$

presenta el aniquilador.

Sobre k [ x , y ]

Sobre el anillo conmutativo de un campo , el aniquilador del módulo ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle M={\frac {k[x,y]}{(x^{2}-y)}}\oplus {\frac {k[x,y]}{(y-3)}}}$

viene dado por el ideal

${\displaystyle {\text{Ann}}_{k[x,y]}(M)=((x^{2}-y)(y-3)).}$

Condiciones en cadena sobre los ideales aniquiladores

La red de ideales de la forma donde S es un subconjunto de R comprende una red completa cuando está parcialmente ordenada por inclusión . Es interesante estudiar anillos para los cuales esta red (o su contraparte derecha) satisface la condición de cadena ascendente o la condición de cadena descendente . ${\displaystyle \ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)}$

Denota el entramado de ideales aniquiladores izquierdos de R as y el entramado de ideales aniquiladores derechos de R as . Se sabe que satisface la condición de la cadena ascendente si y solo si satisface la condición de la cadena descendente, y satisface simétricamente la condición de la cadena ascendente si y solo si satisface la condición de la cadena descendente. Si cualquiera de las redes tiene alguna de estas condiciones de cadena, entonces R no tiene conjuntos ortogonales infinitos por pares de idempotentes . ^{[7] [8]} ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$

Si R es un anillo que satisface el ACC y _R R tiene una dimensión uniforme finita , entonces R se llama anillo Goldie izquierdo . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$

Descripción teórica de categorías para anillos conmutativos

Cuando R es conmutativo y M es un módulo R , podemos describir Ann _R ( M ) como el núcleo del mapa de acción R → End _R ( M ) determinado por el mapa adjunto de la identidad M → M a lo largo del tensor Hom. adjunto .

De manera más general, dado un mapa bilineal de módulos , el aniquilador de un subconjunto es el conjunto de todos los elementos en ese aniquilado : ${\displaystyle F\colon M\times N\to P}$ ${\displaystyle S\subseteq M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Ann} (S):=\{n\in N\mid \forall s\in S:F(s,n)=0\}.}$

Por el contrario, dado , se puede definir un aniquilador como un subconjunto de . ${\displaystyle T\subseteq N}$ ${\displaystyle M}$

El aniquilador proporciona una conexión de Galois entre subconjuntos de y , y el operador de cierre asociado es más fuerte que el tramo. En particular: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

• los aniquiladores son submódulos
• ${\displaystyle \operatorname {Span} S\leq \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S))}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S)))=\operatorname {Ann} (S)}$

Un caso especial importante es la presencia de una forma no degenerada en un espacio vectorial , particularmente un producto interno : entonces el aniquilador asociado al mapa se llama complemento ortogonal . ${\displaystyle V\times V\to K}$

Relaciones con otras propiedades de los anillos.

Dado un módulo M sobre un anillo conmutativo noetheriano R , un ideal primo de R que es un aniquilador de un elemento distinto de cero de M se llama primo asociado de M.

• Los aniquiladores se utilizan para definir los anillos de Rickart izquierdos y los anillos de Baer .
• El conjunto de divisores cero (izquierdos) D _S de S se puede escribir como

${\displaystyle D_{S}=\bigcup _{x\in S\setminus \{0\}}{\mathrm {Ann} _{R}(x)}.}$

(Aquí permitimos que cero sea un divisor de cero).

En particular, D _R es el conjunto de divisores cero (izquierdos) de R tomando S = R y R actuando sobre sí mismo como un módulo R izquierdo.

• Cuando R es conmutativo y noetheriano , el conjunto es precisamente igual a la unión de los primos asociados del módulo R R. ${\displaystyle D_{R}}$

Ver también

• Zócalo
• Soporte de un módulo
• Teorema del aniquilador de Faltings

Notas

1. Perforar (1982), pág. 23.
2. Prueba: si a y b aniquilan a S , entonces para cada s en S , ( a  +  b ) s = as  +  bs = 0, y para cualquier r en R , ( ra ) s = r ( as ) = ​​r 0 = 0.
3. Perforar (1982), pág. 23, Lema b, punto (i).
4. "Lema 10.39.5 (00L2): el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 13 de mayo de 2020 .
5. "Lema 10.39.9 (00L3): el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 13 de mayo de 2020 .
6. "Lema 10.39.9 (00L3): el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 13 de mayo de 2020 .
7. Anderson y Fuller 1992, pág. 322.
8. Lam 1999.

Referencias

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 13 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, señor  1245487
• Israel Nathan Herstein (1968) Anillos no conmutativos , Carus Mathematical Monographs #15, Asociación Matemática de América , página 3.
• Lam, Tsit Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Graduado en Matemáticas N° 189, vol. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 228–232, doi :10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, señor  1653294
• Richard S. Pierce. Álgebras asociativas . Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90693-5