En matemáticas , una aplicación o mapeo es una función en su sentido general. [1] Estos términos pueden haberse originado a partir del proceso de hacer un mapa geográfico : mapear la superficie de la Tierra en una hoja de papel. [2]
El término mapa puede usarse para distinguir algunos tipos especiales de funciones, como los homomorfismos . Por ejemplo, una aplicación lineal es un homomorfismo de espacios vectoriales , mientras que el término función lineal puede tener este significado o puede significar un polinomio lineal . [3] [4] En la teoría de categorías , un mapa puede referirse a un morfismo . [2] El término transformación puede usarse indistintamente, [2] pero la transformación a menudo se refiere a una función de un conjunto a sí misma. También hay algunos usos menos comunes en lógica y teoría de grafos .
En muchas ramas de las matemáticas, el término mapa se utiliza para referirse a una función , [5] [6] [7] a veces con una propiedad específica de particular importancia para esa rama. Por ejemplo, un "mapa" es una " función continua " en topología , una " transformación lineal " en álgebra lineal , etc.
Algunos autores, como Serge Lang , [8] utilizan "función" sólo para referirse a mapas en los que el codominio es un conjunto de números (es decir, un subconjunto de R o C ), y reservan el término mapeo para funciones más generales.
Los mapas de ciertos tipos son objeto de muchas teorías importantes. Estos incluyen homomorfismos en álgebra abstracta , isometrías en geometría , operadores en análisis y representaciones en teoría de grupos . [2]
En la teoría de sistemas dinámicos , un mapa denota una función de evolución utilizada para crear sistemas dinámicos discretos .
Un mapa parcial es una función parcial . La terminología relacionada, como dominio , codominio , inyectivo y continuo, se puede aplicar igualmente a mapas y funciones, con el mismo significado. Todos estos usos se pueden aplicar a "mapas" como funciones generales o como funciones con propiedades especiales.
En la teoría de categorías, "mapa" se utiliza a menudo como sinónimo de " morfismo " o "flecha", que es una función que respeta la estructura y, por tanto, puede implicar más estructura que "función". [9] Por ejemplo, un morfismo en una categoría concreta (es decir, un morfismo que puede verse como una función) lleva consigo la información de su dominio (la fuente del morfismo) y su codominio (el objetivo ). En la definición ampliamente utilizada de función , es un subconjunto que consta de todos los pares de . En este sentido, la función no captura el conjunto que se utiliza como codominio; sólo el rango está determinado por la función.
