Teoría de la cohomología orientada a complejos

En topología algebraica , una teoría de cohomología orientable compleja es una teoría de cohomología multiplicativa E tal que el mapa de restricción es sobreyectivo. Un elemento que se restringe al generador canónico de la teoría reducida se llama orientación compleja . La noción es central en el trabajo de Quillen que relaciona la cohomología con las leyes formales de grupos . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })\to E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1})}$ ${\displaystyle E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1})}$

Si E es un significado teórico de grado par , entonces E es orientable de forma compleja. Esto se desprende de la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch . ${\displaystyle \pi _{3}E=\pi _{5}E=\cdots }$

Ejemplos:

• Una cohomología ordinaria con cualquier anillo de coeficientes R es orientable de forma compleja, como . ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty };R)\simeq \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1};R)}$
• La teoría K compleja , denominada KU , es orientable de forma compleja, ya que tiene grados pares. ( Teorema de la periodicidad de Bott )
• El cobordismo complejo , cuyo espectro se denota por MU, es orientable de forma compleja.

Una orientación compleja, llámela t , da lugar a una ley formal de grupo como sigue: sea m la multiplicación

${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\to \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty },([x],[y])\mapsto [xy]}$

donde denota una línea que pasa por x en el espacio vectorial subyacente de . Este es el mapa que clasifica el producto tensorial del paquete de líneas universales . Visita ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }}$

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })=\varprojlim E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})=\varprojlim R[t]/(t^{n+1})=R[\![t]\!],\quad R=\pi _{*}E}$,

sea ​​el retroceso de t a lo largo de m . Vive en ${\displaystyle f=m^{*}(t)}$

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })=\varprojlim E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{m})=\varprojlim R[x,y]/(x^{n+1},y^{m+1})=R[\![x,y]\!]}$

y se puede demostrar, utilizando las propiedades del producto tensorial de haces de líneas, que es una ley de grupo formal (por ejemplo, satisface la asociatividad).

Ver también

• Teoría de la homotopía cromática

Referencias

• M. Hopkins, Teoría de la cohomología orientada a complejos y el lenguaje de pilas.
• J. Lurie, Teoría de la homotopía cromática (252x)