Homología relativa

En topología algebraica , una rama de las matemáticas , la homología (singular) de un espacio topológico con respecto a un subespacio es una construcción en homología singular , para pares de espacios . La homología relativa es útil e importante en varios sentidos. Intuitivamente, ayuda a determinar qué parte de un grupo de homología absoluta proviene de qué subespacio.

Definición

Dado un subespacio , se puede formar la secuencia corta exacta ${\displaystyle A\subseteq X}$

${\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0,}$

donde denota las cadenas singulares en el espacio X . El mapa de límites en desciende ^a y por lo tanto induce un mapa de límites en el cociente. Si denotamos este cociente por , entonces tenemos un complejo ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle C_{\bullet }(A)}$ ${\displaystyle \partial '_{\bullet }}$ ${\displaystyle C_{n}(X,A):=C_{n}(X)/C_{n}(A)}$

${\displaystyle \cdots \longrightarrow C_{n}(X,A)\xrightarrow {\partial '_{n}} C_{n-1}(X,A)\longrightarrow \cdots .}$

Por definición, el n- ^ésimo grupo de homología relativa del par de espacios es ${\displaystyle (X,A)}$

${\displaystyle H_{n}(X,A):=\ker \partial '_{n}/\operatorname {im} \partial '_{n+1}.}$

Se dice que la homología relativa está dada por los ciclos relativos , cadenas cuyos límites son cadenas en A , módulo de los límites relativos (cadenas que son homólogas a una cadena en A , es decir, cadenas que serían límites, módulo A nuevamente). ^[1]

Propiedades

Las secuencias exactas cortas anteriores que especifican los grupos de cadenas relativos dan lugar a un complejo de cadenas de secuencias exactas cortas. Una aplicación del lema de la serpiente produce una secuencia larga y exacta.

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(X){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(X,A){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(A)\to \cdots .}$

El mapa de conexión toma un ciclo relativo, que representa una clase de homología en , hasta su límite (que es un ciclo en A ). ^[2] ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$

De ello se deduce que , donde es un punto en X , es el n - ésimo grupo de homología reducido de X. En otras palabras, para todos . Cuando , es el módulo gratuito de un rango menor que . El componente conectado que contiene se vuelve trivial en relativa homología. ${\displaystyle H_{n}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle H_{i}(X,x_{0})=H_{i}(X)}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle i=0}$ ${\displaystyle H_{0}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle H_{0}(X)}$ ${\displaystyle x_{0}}$

El teorema de escisión dice que eliminar un subconjunto suficientemente bueno deja sin cambios los grupos de homología relativa . Usando la larga secuencia exacta de pares y el teorema de escisión, se puede demostrar que es lo mismo que el enésimo grupo de homología reducido del espacio cociente . ${\displaystyle Z\subset A}$ ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ ${\displaystyle X/A}$

La homología relativa se extiende fácilmente al triple para . ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ ${\displaystyle Z\subset Y\subset X}$

Se puede definir la característica de Euler para un par mediante ${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle \chi (X,Y)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {rank} H_{j}(X,Y).}$

La exactitud de la secuencia implica que la característica de Euler es aditiva , es decir, si se tiene ${\displaystyle Z\subset Y\subset X}$

${\displaystyle \chi (X,Z)=\chi (X,Y)+\chi (Y,Z).}$

Homología local

El -ésimo grupo de homología local de un espacio en un punto , denotado ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle H_{n,\{x_{0}\}}(X)}$

se define como el grupo de homología relativa . Informalmente, esta es la homología "local" de cerca de . ${\displaystyle H_{n}(X,X\setminus \{x_{0}\})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Homología local del cono CX en el origen.

Un ejemplo sencillo de homología local es calcular la homología local del cono (topología) de un espacio en el origen del cono. Recuerde que el cono se define como el espacio cociente

${\displaystyle CX=(X\times I)/(X\times \{0\}),}$

donde tiene la topología subespacial. Entonces, el origen es la clase de equivalencia de puntos . Usando la intuición de que el grupo de homología local de at captura la homología de "cerca" del origen, deberíamos esperar que esta sea la homología de since que tiene una retracción de homotopía hacia . Luego, se puede calcular la homología local utilizando la secuencia larga exacta en homología. ${\displaystyle X\times \{0\}}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle [X\times 0]}$ ${\displaystyle H_{*,\{x_{0}\}}(CX)}$ ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle H_{*}(X)}$ ${\displaystyle CX\setminus \{x_{0}\}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\to &H_{n}(CX\setminus \{x_{0}\})\to H_{n}(CX)\to H_{n,\{x_{0}\}}(CX)\\\to &H_{n-1}(CX\setminus \{x_{0}\})\to H_{n-1}(CX)\to H_{n-1,\{x_{0}\}}(CX).\end{aligned}}}$

Debido a que el cono de un espacio es contráctil , los grupos de homología medios son todos cero, dando el isomorfismo

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n,\{x_{0}\}}(CX)&\cong H_{n-1}(CX\setminus \{x_{0}\})\\&\cong H_{n-1}(X),\end{aligned}}}$

ya que es contraíble a . ${\displaystyle CX\setminus \{x_{0}\}}$ ${\displaystyle X}$

En geometría algebraica

Tenga en cuenta que la construcción anterior se puede probar en geometría algebraica usando el cono afín de una variedad proyectiva usando cohomología local . ${\displaystyle X}$

Homología local de un punto en una variedad lisa.

Se puede calcular otro cálculo de homología local en un punto de una variedad . Entonces, sea una vecindad compacta de isomorfo a un disco cerrado y sea . Usando el teorema de escisión hay un isomorfismo de grupos de homología relativa ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leq 1\}}$ ${\displaystyle U=M\setminus K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(M,M\setminus \{p\})&\cong H_{n}(M\setminus U,M\setminus (U\cup \{p\}))\\&=H_{n}(K,K\setminus \{p\}),\end{aligned}}}$

de ahí que la homología local de un punto se reduzca a la homología local de un punto en una bola cerrada . Debido a la equivalencia de homotopía ${\displaystyle \mathbb {D} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{n}\setminus \{0\}\simeq S^{n-1}}$

y el hecho

${\displaystyle H_{k}(\mathbb {D} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\0&k\neq 0,\end{cases}}}$

la única parte no trivial de la larga secuencia exacta del par es ${\displaystyle (\mathbb {D} ,\mathbb {D} \setminus \{0\})}$

${\displaystyle 0\to H_{n,\{0\}}(\mathbb {D} ^{n})\to H_{n-1}(S^{n-1})\to 0,}$

por lo tanto, el único grupo de homología local distinto de cero es . ${\displaystyle H_{n,\{0\}}(\mathbb {D} ^{n})}$

Funcionalidad

Al igual que en la homología absoluta, los mapas continuos entre espacios inducen homomorfismos entre grupos de homología relativa. De hecho, este mapa es exactamente el mapa inducido sobre grupos de homología, pero desciende al cociente.

Sean y pares de espacios tales que y , y sea un mapa continuo. Luego hay un mapa inducido en los grupos de cadenas (absolutos). Si entonces . Dejar ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle (Y,B)}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f_{\#}\colon C_{n}(X)\to C_{n}(Y)}$ ${\displaystyle f(A)\subseteq B}$ ${\displaystyle f_{\#}(C_{n}(A))\subseteq C_{n}(B)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{X}&:C_{n}(X)\longrightarrow C_{n}(X)/C_{n}(A)\\\pi _{Y}&:C_{n}(Y)\longrightarrow C_{n}(Y)/C_{n}(B)\\\end{aligned}}}$

ser las proyecciones naturales que llevan elementos a sus clases de equivalencia en los grupos de cocientes . Entonces el mapa es un homomorfismo de grupo. Dado que , este mapa desciende al cociente, induciendo un mapa bien definido tal que el siguiente diagrama conmuta: ^[3] ${\displaystyle \pi _{Y}\circ f_{\#}\colon C_{n}(X)\to C_{n}(Y)/C_{n}(B)}$ ${\displaystyle f_{\#}(C_{n}(A))\subseteq C_{n}(B)=\ker \pi _{Y}}$ ${\displaystyle \varphi \colon C_{n}(X)/C_{n}(A)\to C_{n}(Y)/C_{n}(B)}$

Los mapas de cadena inducen homomorfismos entre grupos de homología, por lo que inducen un mapa en los grupos de homología relativos. ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}(X,A)\to H_{n}(Y,B)}$

Ejemplos

Un uso importante de la homología relativa es el cálculo de los grupos de homología de espacios cocientes . En el caso de que sea un subespacio que cumpla la condición de regularidad leve de que exista una vecindad que tenga como retracción de deformación, entonces el grupo es isomorfo a . Podemos utilizar inmediatamente este hecho para calcular la homología de una esfera. Podemos realizarlo como el cociente de un disco n por su límite, es decir . La aplicación de la secuencia exacta de homología relativa da lo siguiente: ${\displaystyle X/A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X/A)}$ ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}=D^{n}/S^{n-1}}$
${\displaystyle \cdots \to {\tilde {H}}_{n}(D^{n})\rightarrow H_{n}(D^{n},S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(D^{n})\to \cdots .}$

Debido a que el disco es contráctil, sabemos que sus grupos de homología reducidos desaparecen en todas las dimensiones, por lo que la secuencia anterior colapsa en la secuencia corta exacta:

${\displaystyle 0\rightarrow H_{n}(D^{n},S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow 0.}$

Por tanto, obtenemos isomorfismos . Ahora podemos proceder por inducción para demostrarlo . Ahora bien, como la deformación se retrae de una vecindad adecuada de sí misma , lo entendemos . ${\displaystyle H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})}$ ${\displaystyle H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong {\tilde {H}}_{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} }$

Otro ejemplo geométrico revelador viene dado por la homología relativa de dónde . Entonces podemos usar la secuencia larga exacta. ${\displaystyle (X=\mathbb {C} ^{*},D=\{1,\alpha \})}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0,1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H_{1}(D)\to H_{1}(X)\to H_{1}(X,D)\\&\to H_{0}(D)\to H_{0}(X)\to H_{0}(X,D)\end{aligned}}={\begin{aligned}0&\to 0\to \mathbb {Z} \to H_{1}(X,D)\\&\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to \mathbb {Z} \to 0\end{aligned}}}$

Usando la exactitud de la secuencia podemos ver que contiene un bucle en sentido antihorario alrededor del origen. Dado que el núcleo de encaja en la secuencia exacta ${\displaystyle H_{1}(X,D)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {Z} \to H_{1}(X,D)}$

${\displaystyle 0\to \operatorname {coker} (\phi )\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to \mathbb {Z} \to 0}$

debe ser isomorfo a . Un generador del cokernel es la cadena -ya que su mapa de límites es ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [1,\alpha ]}$

${\displaystyle \partial ([1,\alpha ])=[\alpha ]-[1]}$

Ver también

• Teorema de escisión
• Secuencia de Mayer-Vietoris

Notas

^ es decir, el límitese asignaa ${\displaystyle \partial \colon C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(A)}$ ${\displaystyle C_{n-1}(A)}$

Referencias

• "Grupos de homología relativa". PlanetMath .
• Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica , Springer-Verlag , ISBN 0-387-96678-1 

Específico

1. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . ISBN 9780521795401. OCLC  45420394.
2. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 118-119. ISBN 9780521795401. OCLC  45420394.
3. Tonto, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3 ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 9780471452348. OCLC  248917264.