Cohomología de De Rham

Cohomología con coeficientes reales calculados mediante formas diferenciales.

Campo vectorial correspondiente a una forma diferencial en el plano perforado que es cerrado pero no exacto, lo que muestra que la cohomología de De Rham de este espacio no es trivial.

En matemáticas , la cohomología de Rham (llamada así en honor a Georges de Rham ) es una herramienta perteneciente tanto a la topología algebraica como a la topología diferencial , capaz de expresar información topológica básica sobre variedades suaves en una forma particularmente adaptada a la computación y a la representación concreta de clases de cohomología . Es una teoría de cohomología basada en la existencia de formas diferenciales con propiedades prescritas.

En cualquier variedad suave, cada forma exacta es cerrada, pero lo contrario puede no cumplirse. En términos generales, esta falla está relacionada con la posible existencia de "agujeros" en la variedad, y los grupos de cohomología de De Rham comprenden un conjunto de invariantes topológicos de variedades suaves que cuantifican con precisión esta relación. ^[1]

El concepto de integración en formas es de fundamental importancia en topología diferencial, geometría y física, y también produce uno de los ejemplos más importantes de cohomología , a saber, la cohomología de De Rham , que (en términos generales) mide precisamente hasta qué punto el teorema fundamental de el cálculo falla en dimensiones superiores y en variedades generales.
—  Terence Tao , Formas diferenciales e integración ^[2]

Definición

El complejo de Rham es el complejo de cocadenas de formas diferenciales en alguna variedad suave M , con la derivada exterior como diferencial:

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots ,}$

donde Ω ⁰ ( M ) es el espacio de funciones suaves en M , Ω ¹ ( M ) es el espacio de 1 -formas, y así sucesivamente. Las formas que son imagen de otras formas bajo la derivada exterior , más la función constante 0 en Ω ⁰ ( M ) , se llaman exactas y las formas cuya derivada exterior es 0 se llaman cerradas (ver Formas diferenciales cerradas y exactas ); la relación d ² = 0 dice entonces que las formas exactas son cerradas.

Por el contrario, las formas cerradas no son necesariamente exactas. Un caso ilustrativo es un círculo como variedad, y la forma 1 correspondiente a la derivada del ángulo desde un punto de referencia en su centro, típicamente escrita como dθ (descrita en Formas diferenciales cerradas y exactas ). No existe ninguna función θ definida en todo el círculo tal que dθ sea su derivada; el aumento de 2 π al dar una vuelta al círculo en dirección positiva implica una función multivaluada θ . Eliminar un punto del círculo evita esto y al mismo tiempo cambia la topología de la variedad.

Un ejemplo destacado de cuando todas las formas cerradas son exactas es cuando el espacio subyacente es contráctil hasta un punto, es decir, está simplemente conectado (condición sin agujeros). En este caso la derivada exterior restringida a formas cerradas tiene un inverso local llamado operador de homotopía . ^{[3] [4]} Dado que también es nilpotente , ^[3] forma un complejo de cadena dual con las flechas invertidas ^[5] en comparación con el complejo de Rham. Ésta es la situación descrita en el lema de Poincaré . ${\displaystyle d}$

La idea detrás de la cohomología de De Rham es definir clases de equivalencia de formas cerradas en una variedad. Se clasifican dos formas cerradas α , β ∈ Ω ^k ( M ) como cohomólogas si difieren en una forma exacta, es decir, si α − β es exacta. Esta clasificación induce una relación de equivalencia en el espacio de formas cerradas en Ω ^k ( M ) . Luego se define el k -ésimo grupo de cohomología de Rham como el conjunto de clases de equivalencia, es decir, el conjunto de formas cerradas en Ω ^k ( M ) módulo las formas exactas. ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$

Tenga en cuenta que, para cualquier colector M compuesto de m componentes desconectados, cada uno de los cuales está conectado , tenemos que

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbb {R} ^{m}.}$

Esto se desprende del hecho de que cualquier función suave en M con derivada cero en todas partes es constante por separado en cada uno de los componentes conectados de M.

Cohomología de De Rham calculada

A menudo se pueden encontrar las cohomologías generales de De Rham de una variedad utilizando el hecho anterior sobre la cohomología cero y una secuencia de Mayer-Vietoris . Otro hecho útil es que la cohomología de De Rham es una invariante de homotopía . Si bien no se proporciona el cálculo, las siguientes son las cohomologías de De Rham calculadas para algunos objetos topológicos comunes:

La n -esfera

Para la n -esfera , y también cuando se toma junto con un producto de intervalos abiertos, tenemos lo siguiente. Sea n > 0, m ≥ 0 y I un intervalo real abierto. Entonces ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0{\text{ or }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ and }}k\neq n.\end{cases}}}$

El n -toro

El -toro es el producto cartesiano: . De manera similar, permitiendo aquí, obtenemos ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.}$

También podemos encontrar generadores explícitos para la cohomología de De Rham del toro directamente usando formas diferenciales. Dada una variedad cociente y una forma diferencial, podemos decir que es invariante si se le da algún difeomorfismo inducido por , tenemos . En particular, el retroceso de cualquier forma es invariante. Además, el retroceso es un morfismo inyectivo. En nuestro caso las formas diferenciales son -invariantes desde . Pero observe que for no es una forma invariante . Esto con inyectividad implica que ${\displaystyle \pi :X\to X/G}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot g:X\to X}$ ${\displaystyle (\cdot g)^{*}(\omega )=\omega }$ ${\displaystyle X/G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle d(x_{i}+k)=dx_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}+\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle [dx_{i}]\in H_{dR}^{1}(T^{n})}$

Dado que el anillo de cohomología de un toro se genera por , al tomar los productos exteriores de estas formas se obtienen todos los representantes explícitos de la cohomología de De Rham de un toro. ${\displaystyle H^{1}}$

Espacio euclidiano perforado

El espacio euclidiano perforado es simplemente sin el origen. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})\cong {\begin{cases}\mathbb {R} ^{2}&n=1,k=0\\\mathbb {R} &n>1,k=0,n-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}$

La tira de Moebius

Podemos deducir del hecho de que la banda de Möbius , M , puede retraerse por deformación a la 1 esfera (es decir, el círculo unitario real), que:

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).}$

Teorema de De Rham

El teorema de Stokes es una expresión de dualidad entre la cohomología de De Rham y la homología de cadenas . Dice que el emparejamiento de formas y cadenas diferenciales, a través de la integración, da un homomorfismo de la cohomología de De Rham a grupos de cohomología singulares . El teorema de De Rham , demostrado por Georges de Rham en 1931, establece que para una variedad suave M , este mapa es de hecho un isomorfismo . ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$

Más precisamente, considere el mapa.

${\displaystyle I:H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)\to H^{p}(M;\mathbb {R} ),}$

definido de la siguiente manera: para cualquier , sea I ( ω ) el elemento de que actúa de la siguiente manera: ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle H_{p}(M)\ni [c]\longmapsto \int _{c}\omega .}$

El teorema de De Rham afirma que se trata de un isomorfismo entre la cohomología de De Rham y la cohomología singular.

El producto exterior dota a la suma directa de estos grupos de una estructura anular . Un resultado adicional del teorema es que los dos anillos de cohomología son isomórficos (como anillos graduados ), donde el producto análogo en cohomología singular es el producto de copa .

Isomorfismo de Rham de la teoría de la gavilla

Para cualquier variedad suave M , sea la gavilla constante en M asociada al grupo abeliano ; en otras palabras, es el haz de funciones con valores reales localmente constantes en M. Entonces tenemos un isomorfismo natural ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\textstyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{*}(M)\cong H^{*}(M,{\underline {\mathbb {R} }})}$

entre la cohomología de De Rham y la cohomología de la gavilla de . (Tenga en cuenta que esto muestra que la cohomología de De Rham también se puede calcular en términos de la cohomología de Čech ; de hecho, dado que cada variedad suave es Hausdorff paracompacta, tenemos que la cohomología de gavilla es isomorfa a la cohomología de Čech para cualquier buena cobertura de M. ) ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\textstyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\underline {\mathbb {R} }})}$ ${\textstyle {\mathcal {U}}}$

Prueba

La prueba estándar continúa mostrando que el complejo de De Rham, visto como un complejo de haces, es una resolución acíclica de . Con más detalle, sea m la dimensión de M y denotemos el haz de gérmenes de formas -en M (con el haz de funciones en M ). Según el lema de Poincaré , la siguiente secuencia de gavillas es exacta (en la categoría abeliana de gavillas): ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\textstyle \Omega ^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle \Omega ^{0}}$ ${\textstyle C^{\infty }}$

${\displaystyle 0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}\,\xrightarrow {d_{0}} \,\Omega ^{1}\,\xrightarrow {d_{1}} \,\Omega ^{2}\,\xrightarrow {d_{2}} \dots \xrightarrow {d_{m-1}} \,\Omega ^{m}\to 0.}$

Esta secuencia larga y exacta ahora se divide en secuencias cortas y exactas de haces.

${\displaystyle 0\to \mathrm {im} \,d_{k-1}\,\xrightarrow {\subset } \,\Omega ^{k}\,\xrightarrow {d_{k}} \,\mathrm {im} \,d_{k}\to 0,}$

donde por exactitud tenemos isomorfismos para todo k . Cada uno de estos induce una secuencia larga y exacta en cohomología. Dado que el haz de funciones en M admite particiones de unidad , cualquier módulo es un haz fino ; En particular, las poleas están todas bien. Por lo tanto, los grupos de cohomología de las gavillas desaparecen, ya que todas las gavillas finas en espacios paracompactos son acíclicas. Entonces, las largas secuencias de cohomología exactas finalmente se separan en una cadena de isomorfismos. En un extremo de la cadena está la cohomología de la gavilla y en el otro se encuentra la cohomología de De Rham. ${\textstyle \mathrm {im} \,d_{k-1}\cong \mathrm {ker} \,d_{k}}$ ${\textstyle \Omega ^{0}}$ ${\textstyle C^{\infty }}$ ${\textstyle \Omega ^{0}}$ ${\textstyle \Omega ^{k}}$ ${\textstyle H^{i}(M,\Omega ^{k})}$ ${\textstyle i>0}$ ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$

Ideas relacionadas

La cohomología de De Rham ha inspirado muchas ideas matemáticas, incluida la cohomología de Dolbeault , la teoría de Hodge y el teorema del índice Atiyah-Singer . Sin embargo, incluso en contextos más clásicos, el teorema ha inspirado una serie de desarrollos. En primer lugar, la teoría de Hodge demuestra que existe un isomorfismo entre la cohomología que consiste en formas armónicas y la cohomología de De Rham que consiste en formas cerradas módulo formas exactas. Esto se basa en una definición adecuada de las formas armónicas y del teorema de Hodge. Para obtener más detalles, consulte la teoría de Hodge .

Formas armónicas

Si M es una variedad de Riemann compacta , entonces cada clase de equivalencia contiene exactamente una forma armónica . Es decir, cada miembro de una determinada clase de equivalencia de formas cerradas se puede escribir como ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =\alpha +\gamma }$

donde es exacto y es armónico: . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Delta \gamma =0}$

Cualquier función armónica en una variedad de Riemann conectada compacta es una constante. Por lo tanto, se puede entender que este elemento representativo particular es un extremo (un mínimo) de todas las formas cohomólogamente equivalentes en la variedad. Por ejemplo, en un toroide de 2 , uno puede imaginar una forma de 1 constante como aquella en la que todo el "cabello" se peina cuidadosamente en la misma dirección (y todo el "cabello" tiene la misma longitud). En este caso, hay dos combinaciones cohomológicamente distintas; todos los demás son combinaciones lineales. En particular, esto implica que el primer número de Betti de un toro 2 es dos. De manera más general, en un toroide -dimensional , se pueden considerar las diversas combinaciones de formas -en el toroide. Se eligen combinaciones que se pueden utilizar para formar los vectores base para ; Por lo tanto, se elige el -ésimo número de Betti para el grupo de cohomología de De Rham para el -toro . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

Más precisamente, para un colector diferencial M , se puede equiparlo con alguna métrica riemanniana auxiliar . Entonces el laplaciano se define por ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$

con la derivada exterior y la codiferencial . El laplaciano es un operador diferencial lineal homogéneo (en clasificación ) que actúa sobre el álgebra exterior de formas diferenciales : podemos observar su acción sobre cada componente de grado por separado. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle k}$

Si es compacto y orientado , la dimensión del núcleo del laplaciano que actúa sobre el espacio de k -formas es entonces igual (según la teoría de Hodge ) a la del grupo de cohomología de De Rham en grado : el laplaciano selecciona una forma armónica única en cada clase de cohomología de formas cerradas . En particular, el espacio de todas las formas armónicas es isomorfo a. La dimensión de cada uno de esos espacios es finita y está dada por el -ésimo número de Betti . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle k}$

Descomposición de Hodge

Sea una variedad de Riemann orientada compacta . La descomposición de Hodge establece que cualquier forma -on se divide de forma única en la suma de tres componentes L 2 : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \omega =\alpha +\beta +\gamma ,}$

donde es exacto, coexacto y armónico. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

Se dice que una forma es cocerrada si y coexacta si para alguna forma , y ​​eso es armónico si el laplaciano es cero ,. A esto se sigue señalando que las formas exactas y coexactas son ortogonales; el complemento ortogonal consta entonces de formas cerradas y cocerradas: es decir, de formas armónicas. Aquí, la ortogonalidad se define con respecto al producto interno L 2 en : ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta \beta =0}$ ${\displaystyle \beta =\delta \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Delta \gamma =0}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge {\star \beta }.}$

Mediante el uso de espacios o distribuciones de Sobolev , la descomposición se puede extender, por ejemplo, a una variedad Riemanniana completa (orientada o no). ^[6]

Ver también

• Teoría de Hodge
• Integración a lo largo de fibras (para la cohomología de De Rham, el avance viene dado por la integración )
• teoría de la gavilla
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema para un refinamiento de las formas diferenciales exactas en el caso de colectores compactos de Kähler .

Citas

1. Lee 2013, pag. 440.
2. Tao, Terence (2007) "Formas diferenciales e integración" Princeton Companion to Mathematics 2008. Timothy Gowers, ed.
3. Edelen, Dominic GB (2011). Cálculo exterior aplicado (Ed. Revisada). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-43871-9. OCLC  56347718.
4. Warner, Frank W. (1983). Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie. Nueva York: Springer. ISBN 0-387-90894-3. OCLC  9683855.
5. Kycia, Radosław Antoni (2020). "El lema de Poincaré, formas antiexactas y oscilador armónico cuántico fermiónico". Resultados en Matemáticas . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . doi :10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN  1422-6383. S2CID  199472766.
6. Jean-Pierre Demailly, Geometría diferencial y analítica compleja, capítulo VIII, § 3.

Referencias

• Lee, John M. (2013). Introducción a los colectores lisos . Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8.
• Bott, Raúl ; Tu, Loring W. (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, señor  1288523
• Warner, Frank (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de mentiras , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90894-6

enlaces externos

• Idea de la cohomología de De Rham en el proyecto Mathifold
• "Cohomología de De Rham", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]