Clase Pontryagin

En matemáticas , las clases de Pontryagin , llamadas así por Lev Pontryagin , son ciertas clases características de los fibrados vectoriales reales. Las clases de Pontryagin se encuentran en grupos de cohomología con grados múltiplos de cuatro.

Definición

Dado un fibrado vectorial real sobre , su -ésima clase de Pontryagin se define como ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}(E)}$

${\displaystyle p_{k}(E)=p_{k}(E,\mathbb {Z} )=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M,\mathbb {Z} ),}$

dónde:

• ${\displaystyle c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )}$denota la -ésima clase de Chern de la complejización de , ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =E\oplus iE}$ ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Z} )}$es el grupo de cohomología de con coeficientes enteros . ${\displaystyle 4k}$ ${\displaystyle M}$

La clase racional de Pontryagin se define como la imagen de en , el grupo de -cohomología de con coeficientes racionales . ${\displaystyle p_{k}(E,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle p_{k}(E)}$ ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle 4k}$ ${\displaystyle M}$

Propiedades

La clase Pontryagin total

${\displaystyle p(E)=1+p_{1}(E)+p_{2}(E)+\cdots \in H^{*}(M,\mathbb {Z} ),}$

es (módulo 2-torsión) multiplicativa con respecto a la suma de Whitney de fibrados vectoriales, es decir,

${\displaystyle 2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)}$

para dos fibrados vectoriales y más . En términos de las clases individuales de Pontryagin , ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p_{k}}$

${\displaystyle 2p_{1}(E\oplus F)=2p_{1}(E)+2p_{1}(F),}$

${\displaystyle 2p_{2}(E\oplus F)=2p_{2}(E)+2p_{1}(E)\smile p_{1}(F)+2p_{2}(F)}$

etcétera.

La desaparición de las clases de Pontryagin y de las clases de Stiefel–Whitney de un fibrado vectorial no garantiza que el fibrado vectorial sea trivial. Por ejemplo, hasta el isomorfismo de fibrado vectorial , existe un único fibrado vectorial no trivial de rango 10 sobre la 9-esfera . (La función de embrague para surge del grupo de homotopía ). Las clases de Pontryagin y de Stiefel-Whitney se desvanecen todas: las clases de Pontryagin no existen en el grado 9, y la clase de Stiefel–Whitney de se desvanece por la fórmula de Wu . Además, este fibrado vectorial es establemente no trivial, es decir, la suma de Whitney de con cualquier fibrado trivial sigue siendo no trivial. (Hatcher 2009, p. 76) ${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle \pi _{8}(\mathrm {O} (10))=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle w_{9}}$ ${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle w_{9}=w_{1}w_{8}+Sq^{1}(w_{8})}$ ${\displaystyle E_{10}}$

Dado un fibrado vectorial de dimensión 1 tenemos ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle p_{k}(E)=e(E)\smile e(E),}$

donde denota la clase de Euler de , y denota el producto de copa de las clases de cohomología. ${\displaystyle e(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \smile }$

Clases de Pontryagin y curvatura

Como lo demostraron Shiing-Shen Chern y André Weil alrededor de 1948, las clases racionales de Pontryagin

${\displaystyle p_{k}(E,\mathbf {Q} )\in H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$

pueden presentarse como formas diferenciales que dependen polinómicamente de la forma de curvatura de un fibrado vectorial. Esta teoría de Chern-Weil reveló una conexión importante entre la topología algebraica y la geometría diferencial global.

Para un fibrado vectorial sobre una variedad diferenciable -dimensional equipada con una conexión , la clase total de Pontryagin se expresa como ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle p=\left[1-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})}{8\pi ^{2}}}+{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{2}-2{\rm {Tr}}(\Omega ^{4})}{128\pi ^{4}}}-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{3}-6{\rm {Tr}}(\Omega ^{2}){\rm {Tr}}(\Omega ^{4})+8{\rm {Tr}}(\Omega ^{6})}{3072\pi ^{6}}}+\cdots \right]\in H_{dR}^{*}(M),}$

donde denota la forma de curvatura y denota los grupos de cohomología de De Rham . ^[1] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H_{dR}^{*}(M)}$

Clases de Pontryagin de una variedad

Las clases de Pontryagin de una variedad suave se definen como las clases de Pontryagin de su fibrado tangente .

Novikov demostró en 1966 que si dos variedades compactas, orientadas y suaves son homeomorfas , entonces sus clases racionales de Pontryagin son las mismas. ${\displaystyle p_{k}(M,\mathbf {Q} )}$ ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$

Si la dimensión es al menos cinco, hay como máximo un número finito de variedades suaves diferentes con un tipo de homotopía y clases de Pontryagin determinados. ^{[ cita requerida ]}

Clases de Pontryagin de las clases de Chern

Las clases de Pontryagin de un fibrado vectorial complejo están completamente determinadas por sus clases de Chern. Esto se deduce del hecho de que , la fórmula de la suma de Whitney y las propiedades de las clases de Chern de su fibrado conjugado complejo. Es decir, y . Entonces, dada la relación ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong E\oplus {\bar {E}}}$ ${\displaystyle c_{i}({\bar {E}})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$ ${\displaystyle c(E\oplus {\bar {E}})=c(E)c({\bar {E}})}$

${\displaystyle 1-p_{1}(E)+p_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}p_{n}(E)=(1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E))\cdot (1-c_{1}(E)+c_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}c_{n}(E))}$^[2]

Por ejemplo, podemos aplicar esta fórmula para encontrar las clases de Pontryagin de un fibrado vectorial complejo en una curva y una superficie. Para una curva, tenemos

${\displaystyle (1-c_{1}(E))(1+c_{1}(E))=1+c_{1}(E)^{2}}$

Por lo tanto, todas las clases de Pontryagin de fibrados vectoriales complejos son triviales. En una superficie, tenemos

${\displaystyle (1-c_{1}(E)+c_{2}(E))(1+c_{1}(E)+c_{2}(E))=1-c_{1}(E)^{2}+2c_{2}(E)}$

mostrando . En los paquetes en línea esto se simplifica aún más por razones de dimensión. ${\displaystyle p_{1}(E)=c_{1}(E)^{2}-2c_{2}(E)}$ ${\displaystyle c_{2}(L)=0}$

Clases de Pontryagin sobre una superficie cuártica K3

Recordemos que un polinomio cuártico cuyo lugar de desaparición es una subvariedad suave es una superficie K3. Si usamos la secuencia normal ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}(4)\to 0}$

podemos encontrar

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X})}{c({\mathcal {O}}(4))}}\\&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+4[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})\cdot (1-4[H]+16[H]^{2})\\&=1+6[H]^{2}\end{aligned}}}$

mostrando y . Como corresponde a cuatro puntos, debido al lema de Bézout, tenemos el segundo número de Chern como . Como en este caso, tenemos ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle c_{2}(X)=6[H]^{2}}$ ${\displaystyle [H]^{2}}$ ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle p_{1}(X)=-2c_{2}(X)}$

${\displaystyle p_{1}(X)=-48}$Este número se puede utilizar para calcular el tercer grupo de homotopía estable de esferas. ^[3]

Números de Pontryagin

Los números de Pontryagin son invariantes topológicos determinados de una variedad uniforme . Cada número de Pontryagin de una variedad se anula si la dimensión de no es divisible por 4. Se define en términos de las clases de Pontryagin de la variedad de la siguiente manera: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Dada una variedad de dimensión suave y una colección de números naturales ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}$de tal manera que , ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}$

El número de Pontryagin se define por ${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}$

${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}=p_{k_{1}}\smile p_{k_{2}}\smile \cdots \smile p_{k_{m}}([M])}$

donde denota la -ésima clase de Pontryagin y la clase fundamental de . ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle M}$

Propiedades

1. Los números de Pontryagin son invariantes del cobordismo orientado ; y junto con los números de Stiefel-Whitney determinan la clase de cobordismo orientado de una variedad orientada.
2. Los números de Pontryagin de variedades de Riemann cerradas (así como las clases de Pontryagin) se pueden calcular como integrales de ciertos polinomios del tensor de curvatura de una variedad de Riemann.
3. Los invariantes como la signatura y el género se pueden expresar mediante números de Pontryagin. Para el teorema que describe la combinación lineal de números de Pontryagin que dan la signatura, véase el teorema de la signatura de Hirzebruch . ${\displaystyle {\hat {A}}}$

Generalizaciones

También existe una clase Pontryagin cuaterniónica , para haces vectoriales con estructura de cuaternión .

Véase también

• Forma Chern-Simons
• Teorema de la firma de Hirzebruch

Referencias

1. "Cohomología de De Rham: una descripción general | Temas de ScienceDirect" www.sciencedirect.com . Consultado el 2 de febrero de 2022 .
2. Mclean, Mark. "Clases de Pontryagin" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 8 de noviembre de 2016.
3. "Un estudio de los cálculos de grupos de homotopía de esferas y cobordismos" (PDF) . p. 16. Archivado (PDF) desde el original el 22 de enero de 2016.

• Milnor John W. ; Stasheff, James D. (1974). Clases características . Anales de estudios matemáticos. Princeton, Nueva Jersey; Tokio: Princeton University Press / University of Tokyo Press. ISBN 0-691-08122-0.
• Hatcher, Allen (2009). Paquetes vectoriales y teoría K (2.1 ed.).

Enlaces externos

• "Clase de Pontryagin". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].