Firma (topología)

En el campo de la topología , la firma es un invariante entero que se define para una variedad orientada M de dimensión divisible por cuatro .

Este invariante de una variedad se ha estudiado en detalle, comenzando con el teorema de Rokhlin para 4-variedades y el teorema de la firma de Hirzebruch .

Definición

Dada una variedad conexa y orientada M de dimensión 4 k , el producto de copa da lugar a una forma cuadrática Q en el grupo de cohomología real 'medio'

${\displaystyle H^{2k}(M,\mathbf {R} )}$.

La identidad básica del producto de taza

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$

muestra que con p = q = 2 k el producto es simétrico . Toma valores en

${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbf {R} )}$.

Si suponemos también que M es compacto , la dualidad de Poincaré lo identifica con

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {R} )}$

que puede identificarse con . Por lo tanto, el producto de copa, bajo estas hipótesis, da lugar a una forma bilineal simétrica en H ^{2 k} ( M , R ); y por lo tanto a una forma cuadrática Q . La forma Q no es degenerada debido a la dualidad de Poincaré, ya que se empareja de manera no degenerada consigo misma. ^[1] De manera más general, la firma se puede definir de esta manera para cualquier poliedro compacto general con dualidad de Poincaré de 4n dimensiones. ${\displaystyle \mathbf {R} }$

La firma de M es por definición la firma de Q , es decir, donde cualquier matriz diagonal que define Q tiene entradas positivas y entradas negativas. ^[2] Si M no está conectado, su firma se define como la suma de las firmas de sus componentes conectados. ${\displaystyle \sigma (M)}$ ${\displaystyle \sigma (M)=n_{+}-n_{-}}$ ${\displaystyle n_{+}}$ ${\displaystyle n_{-}}$

Otras dimensiones

Si M tiene dimensión no divisible por 4, su signatura se define usualmente como 0. Existen generalizaciones alternativas en la teoría L : la signatura puede interpretarse como el L-grupo simétrico de 4 k dimensiones (simplemente conexo) o como el L-grupo cuadrático de 4 k dimensiones y estos invariantes no siempre se desvanecen para otras dimensiones. El invariante de Kervaire es un módulo 2 (es decir, un elemento de ) para variedades enmarcadas de dimensión 4 k +2 (el L-grupo cuadrático ), mientras que el invariante de De Rham es un módulo 2 invariante de variedades de dimensión 4 k +1 (el L-grupo simétrico ); los otros L-grupos dimensionales se desvanecen. ${\displaystyle L^{4k},}$ ${\displaystyle L_{4k},}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /2}$ ${\displaystyle L_{4k+2}}$ ${\displaystyle L^{4k+1}}$

Invariante de Kervaire

Cuando es el doble de un entero impar ( simplemente par ), la misma construcción da lugar a una forma bilineal antisimétrica . Tales formas no tienen un invariante de firma; si no son degeneradas, dos de estas formas son equivalentes. Sin embargo, si se toma un refinamiento cuadrático de la forma, lo que ocurre si se tiene una variedad enmarcada , entonces las formas ε-cuadráticas resultantes no necesitan ser equivalentes, y se distinguen por el invariante Arf . El invariante resultante de una variedad se llama invariante de Kervaire . ${\displaystyle d=4k+2=2(2k+1)}$

Propiedades

• Las variedades orientadas compactas M y N satisfacen por definición y satisfacen mediante una fórmula de Künneth . ${\displaystyle \sigma (M\sqcup N)=\sigma (M)+\sigma (N)}$ ${\displaystyle \sigma (M\times N)=\sigma (M)\sigma (N)}$

• Si M es un límite orientado, entonces . ${\displaystyle \sigma (M)=0}$

• René Thom (1954) demostró que la firma de una variedad es un invariante del cobordismo, y en particular está dada por alguna combinación lineal de sus números de Pontryagin . ^[3] Por ejemplo, en cuatro dimensiones, está dada por . Friedrich Hirzebruch (1954) encontró una expresión explícita para esta combinación lineal como el género L de la variedad. ${\displaystyle {\frac {p_{1}}{3}}}$

• William Browder (1962) demostró que un poliedro compacto simplemente conexo con dualidad de Poincaré de 4 n dimensiones es homotópicamente equivalente a una variedad si y sólo si su firma satisface la expresión del teorema de la firma de Hirzebruch .

• El teorema de Rokhlin dice que la firma de una variedad 4-dimensional simplemente conexa con una estructura de espín es divisible por 16.

Véase también

• Teorema de la firma de Hirzebruch
• Género de una secuencia multiplicativa
• Teorema de Rokhlin

Referencias

1. Hatcher, Allen (2003). Topología algebraica (PDF) (edición revisada). Cambridge: Cambridge Univ. Pr. p. 250. ISBN 978-0521795401. Recuperado el 8 de enero de 2017 .
2. Milnor, John; Stasheff, James (1962). Clases características . Anales de estudios matemáticos 246. pág. 224. CiteSeerX 10.1.1.448.869 . ISBN.  978-0691081229.
3. Thom, René. "Quelques proprietes globales des varietes diferenciables" (PDF) (en francés). Com. Matemáticas. Helvetici 28 (1954), págs. 17–86 . Consultado el 26 de octubre de 2019 .