Teorema de Rokhlin

Sobre la forma de intersección de una variedad cuadridimensional cerrada y lisa con una estructura de espín

En topología de 4 dimensiones, una rama de las matemáticas, el teorema de Rokhlin establece que si una variedad 4- lisa , orientable y cerrada M tiene una estructura de espín (o, equivalentemente, la segunda clase de Stiefel–Whitney se desvanece), entonces la firma de su forma de intersección , una forma cuadrática en el segundo grupo de cohomología , es divisible por 16. El teorema lleva el nombre de Vladimir Rokhlin , quien lo demostró en 1952. ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle H^{2}(M)}$

Ejemplos

• La forma de intersección en M

${\displaystyle Q_{M}\colon H^{2}(M,\mathbb {Z} )\times H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} }$

es unimodular por la dualidad de Poincaré , y la desaparición de implica que la forma de intersección es par. Por un teorema de Cahit Arf , cualquier red unimodular par tiene una firma divisible por 8, por lo que el teorema de Rokhlin fuerza un factor adicional de 2 para dividir la firma. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$

• Una superficie K3 es compacta, de 4 dimensiones y se desvanece, y la firma es −16, por lo que 16 es el mejor número posible en el teorema de Rokhlin. ${\displaystyle w_{2}(M)}$
• Una superficie compleja de grado tiene espín si y solo si es par. Tiene signatura , que se puede ver en el teorema de signatura de Friedrich Hirzebruch . El caso nos devuelve el último ejemplo de una superficie K3 . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (4-d^{2})d/3}$ ${\displaystyle d=4}$
• La variedad E8 de Michael Freedman es una variedad topológica compacta simplemente conexa con forma de intersección y desaparición de signatura 8. El teorema de Rokhlin implica que esta variedad no tiene una estructura uniforme . Esta variedad muestra que el teorema de Rokhlin falla para el conjunto de variedades meramente topológicas (en lugar de uniformes). ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle E_{8}}$
• Si la variedad M es simplemente conexa (o, de manera más general, si el primer grupo de homología no tiene 2-torsión), entonces el desvanecimiento de es equivalente a que la forma de intersección sea par. Esto no es cierto en general: una superficie de Enriques es una variedad compacta y suave de 4 y tiene la forma de intersección par II _1,9 de signatura −8 (no divisible por 16), pero la clase no se desvanece y está representada por un elemento de torsión en el segundo grupo de cohomología. ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$

Pruebas

El teorema de Rokhlin se puede deducir del hecho de que el tercer grupo de homotopía estable de esferas es cíclico de orden 24; este es el enfoque original de Rokhlin. ${\displaystyle \pi _{3}^{S}}$

También se puede deducir del teorema del índice de Atiyah-Singer . Véase género y teorema de Rochlin .

Robion Kirby  (1989) da una prueba geométrica.

El invariante de Rokhlin

Dado que el teorema de Rokhlin establece que la firma de una variedad de espín suave es divisible por 16, la definición del invariante de Rokhlin se deduce de la siguiente manera:

Para una variedad de 3 dimensiones y una estructura de espín en , el invariante de Rokhlin en se define como la firma de cualquier variedad de 4 dimensiones de espín compacto y suave con límite de espín . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu (N,s)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (N,s)}$

Si N es una 3-variedad de espín , entonces limita una 4-variedad de espín M. La firma de M es divisible por 8, y una aplicación sencilla del teorema de Rokhlin muestra que su valor módulo 16 depende solo de N y no de la elección de M. Las 3-esferas de homología tienen una estructura de espín única , por lo que podemos definir el invariante de Rokhlin de una 3-esfera de homología como el elemento de , donde M es cualquier 4-variedad de espín que limita la esfera de homología. ${\displaystyle \operatorname {sign} (M)/8}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Por ejemplo, la esfera de homología de Poincaré limita una variedad de espín 4 con forma de intersección , por lo que su invariante de Rokhlin es 1. Este resultado tiene algunas consecuencias elementales: la esfera de homología de Poincaré no admite una incrustación suave en , ni limita una variedad de Mazur . ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle S^{4}}$

De manera más general, si N es una 3-variedad de espín (por ejemplo, cualquier esfera de homología), entonces la firma de cualquier 4-variedad de espín M con frontera N está bien definida módulo 16, y se llama invariante de Rokhlin de N. En una 3-variedad topológica N , el invariante de Rokhlin generalizado se refiere a la función cuyo dominio son las estructuras de espín en N , y que evalúa al invariante de Rokhlin del par donde s es una estructura de espín en N. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (N,s)}$

El invariante de Rokhlin de M es igual a la mitad del invariante de Casson módulo 2. El invariante de Casson se considera como la elevación de valor Z del invariante de Rokhlin de la 3-esfera de homología integral.

Generalizaciones

El teorema de Kervaire-Milnor (Kervaire y Milnor 1960) establece que si es una esfera característica en una variedad cuatridimensional compacta y suave M , entonces ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma {\bmod {1}}6}$.

Una esfera característica es una 2-esfera incrustada cuya clase de homología representa la clase Stiefel–Whitney . Si se anula, podemos considerar que es cualquier esfera pequeña, que tiene un número de autointersección 0, por lo que se deduce el teorema de Rokhlin. ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle \Sigma }$

El teorema de Freedman-Kirby (Freedman y Kirby 1978) establece que si es una superficie característica en una variedad cuadridimensional compacta y suave M , entonces ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma ){\bmod {1}}6}$.

donde es el invariante Arf de una determinada forma cuadrática en . Este invariante Arf es obviamente 0 si es una esfera, por lo que el teorema de Kervaire-Milnor es un caso especial. ${\displaystyle \operatorname {Arf} (M,\Sigma )}$ ${\displaystyle H_{1}(\Sigma ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Una generalización del teorema de Freedman-Kirby a variedades topológicas (en lugar de suaves) establece que

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma )+8\operatorname {ks} (M){\bmod {1}}6}$,

donde es el invariante de Kirby–Siebenmann de M . El invariante de Kirby–Siebenmann de M es 0 si M es suave. ${\displaystyle \operatorname {ks} (M)}$

Armand Borel y Friedrich Hirzebruch demostraron el siguiente teorema: Si X es una variedad de espín compacta y suave de dimensión divisible por 4, entonces el género  es un entero, y es par si la dimensión de X es 4 mod 8. Esto se puede deducir del teorema del índice de Atiyah-Singer : Michael Atiyah e Isadore Singer demostraron que el género  es el índice del operador de Atiyah-Singer, que siempre es entero, y es par en dimensiones 4 mod 8. Para una variedad de 4 dimensiones, el teorema de la firma de Hirzebruch muestra que la firma es −8 veces el género Â, por lo que en dimensión 4 esto implica el teorema de Rokhlin.

Ochanine (1980) demostró que si X es una variedad de espín suave, compacta y orientada de dimensión 4 mod 8, entonces su firma es divisible por 16.

Referencias

• Freedman, Michael ; Kirby, Robion (1978), "Una prueba geométrica del teorema de Rochlin", Topología algebraica y geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Parte 2, págs. 85–97 , Actas de simposios sobre matemáticas puras, vol. XXXII, Providence, Rhode Island: American Mathematics Society, ISBN 0-8218-1432-X, Sr.  0520525
• Kirby, Robion (1989), La topología de 4 variedades , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1374, Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0089031, ISBN 0-387-51148-2, Sr.  1001966
• Kervaire, Michel A. ; Milnor, John W. (1960), "Números de Bernoulli, grupos de homotopía y un teorema de Rohlin", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, 1958 , Nueva York: Cambridge University Press , págs. 454–458, MR  0121801
• Kervaire, Michel A.; Milnor, John W. (1961), "Sobre 2-esferas en 4-variedades", Actas de la Academia Nacional de Ciencias , vol. 47, págs. 1651–1657, MR  0133134
• Matsumoto, Yoichirou (1986), Una prueba elemental del teorema de la firma de Rochlin y su extensión por Guillou y Marin (PDF)
• Michelsohn, Marie-Louise ; Lawson, H. Blaine (1989), Geometría de espín , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN 0-691-08542-0, Sr.  1031992(especialmente la página 280)
• Ochanine, Serge, Signature módulo 16, invariantes de Kervaire généralisés et nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle , Mém. Soc. Matemáticas. Francia 1980/81, núm. 5, señor  1809832
• Rokhlin, Vladimir A. , ​​Nuevos resultados en la teoría de variedades de cuatro dimensiones , Doklady Acad. Nauk. SSSR (NS) 84 (1952) 221–224. MR 0052101
• Scorpan, Alexandru (2005), El mundo salvaje de las 4-variedades , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3749-8, Sr.  2136212
• Szűcs, András (2003), "Dos teoremas de Rokhlin", Revista de Ciencias Matemáticas , 113 (6): 888–892, doi :10.1023/A:1021208007146, MR  1809832, S2CID  117175810