Género de una secuencia multiplicativa

Un homomorfismo de anillo del anillo de cobordismo de variedades a otro anillo

Un cobordismo ( W ; M , N ).

En matemáticas , un género de una sucesión multiplicativa es un homomorfismo de anillo desde el anillo de variedades compactas suaves hasta la equivalencia de acotar una variedad suave con borde (es decir, hasta un cobordismo adecuado ) a otro anillo, normalmente el de los números racionales , que tiene la propiedad de que se construyen a partir de una sucesión de polinomios en clases características que surgen como coeficientes en series de potencias formales con buenas propiedades multiplicativas.

Definición

Un género asigna un número a cada variedad X tal que ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi (X)}$

1. ${\displaystyle \Phi (X\sqcup Y)=\Phi (X)+\Phi (Y)}$(donde está la unión disjunta); ${\displaystyle \sqcup }$
2. ${\displaystyle \Phi (X\times Y)=\Phi (X)\Phi (Y)}$;
3. ${\displaystyle \Phi (X)=0}$ si X es el límite de una variedad con límite.

Puede ser necesario que las variedades y las variedades con borde tengan una estructura adicional; por ejemplo, pueden estar orientadas, tener espín, ser establemente complejas, etc. (consulte la lista de teorías de cobordismo para obtener muchos más ejemplos). El valor está en algún anillo, a menudo el anillo de los números racionales, aunque puede ser otros anillos como o el anillo de las formas modulares. ${\displaystyle \Phi (X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Las condiciones en pueden reformularse diciendo que es un homomorfismo de anillo del anillo de cobordismo de variedades (con estructura adicional) a otro anillo. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Ejemplo: Si es la signatura de la variedad orientada X , entonces es un género desde las variedades orientadas hasta el anillo de los enteros. ${\displaystyle \Phi (X)}$ ${\displaystyle \Phi }$

El género asociado a una serie de potencias formales

Una secuencia de polinomios en variables se llama multiplicativa si ${\displaystyle K_{1},K_{2},\ldots }$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$

${\displaystyle 1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\cdots )}$

implica que

${\displaystyle \sum _{j}K_{j}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{j}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_{2},\ldots )z^{j}\sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}}$

Si es una serie de potencias formal en z con término constante 1, podemos definir una secuencia multiplicativa ${\displaystyle Q(z)}$

${\displaystyle K=1+K_{1}+K_{2}+\cdots }$

por

${\displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\cdots }$,

donde es la k -ésima función simétrica elemental de las indeterminadas . (En la práctica, las variables serán a menudo clases de Pontryagin ). ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle p_{k}}$

El género de variedades compactas , conexas , suaves y orientadas correspondientes a Q está dado por ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )}$

donde son las clases de Pontryagin de X . La serie de potencias Q se denomina serie de potencias característica del género . Un teorema de René Thom , que establece que los racionales tensados ​​con el anillo de cobordismo es un álgebra polinómica en generadores de grado 4 k para enteros positivos k , implica que esto da una biyección entre series de potencias formales Q con coeficientes racionales y coeficiente principal 1, y géneros de variedades orientadas a los números racionales. ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \Phi }$

género L

El género L es el género de la serie de potencias formales

${\displaystyle {{\sqrt {z}} \over \tanh({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geq 0}{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{k}}{(2k)!}}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\cdots }$

donde los números son los números de Bernoulli . Los primeros valores son: ${\displaystyle B_{2k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}&=1\\L_{1}&={\tfrac {1}{3}}p_{1}\\L_{2}&={\tfrac {1}{45}}\left(7p_{2}-p_{1}^{2}\right)\\L_{3}&={\tfrac {1}{945}}\left(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3}\right)\\L_{4}&={\tfrac {1}{14175}}\left(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

(para más L -polinomios, véase ^[1] o OEIS : A237111 ). Ahora sea M una variedad cerrada, suave y orientada de dimensión 4 n con clases de Pontrjagin . Friedrich Hirzebruch demostró que el género L de M en dimensión 4 n evaluado en la clase fundamental de , denotada , es igual a , la firma de M (es decir, la firma de la forma de intersección en el 2 n º grupo de cohomología de M ): ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle \sigma (M)}$

${\displaystyle \sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\ldots ,p_{n}(M)),[M]\rangle }$.

Esto ahora se conoce como el teorema de la firma de Hirzebruch (o a veces el teorema del índice de Hirzebruch ).

El hecho de que siempre sea integral para una variedad suave fue utilizado por John Milnor para dar un ejemplo de una variedad PL de 8 dimensiones sin estructura suave . Los números de Pontryagin también se pueden definir para variedades PL, y Milnor demostró que su variedad PL tenía un valor no integral de , y por lo tanto no era suave. ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

Aplicación sobre superficies K3

Como las superficies proyectivas K3 son variedades complejas suaves de dimensión dos, su única clase de Pontryagin no trivial está en . Se puede calcular como -48 utilizando la secuencia tangente y comparaciones con clases complejas de Chern. Como , tenemos su firma. Esto se puede utilizar para calcular su forma de intersección como una red unimodular ya que tiene , y utilizando la clasificación de redes unimodulares. ^[2] ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle H^{4}(X)}$ ${\displaystyle L_{1}=-16}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} \left(H^{2}(X)\right)=22}$

Género Todd

El género Todd es el género de la serie de potencias formales.

${\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i!}}z^{i}}$

Con números de Bernoulli como antes. Los primeros valores son ${\displaystyle B_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Td_{0}&=1\\Td_{1}&={\frac {1}{2}}c_{1}\\Td_{2}&={\frac {1}{12}}\left(c_{2}+c_{1}^{2}\right)\\Td_{3}&={\frac {1}{24}}c_{1}c_{2}\\Td_{4}&={\frac {1}{720}}\left(-c_{1}^{4}+4c_{2}c_{1}^{2}+3c_{2}^{2}+c_{3}c_{1}-c_{4}\right)\end{aligned}}}$

El género Todd tiene la propiedad particular de que asigna el valor 1 a todos los espacios proyectivos complejos (es decir, ), y esto basta para mostrar que el género Todd concuerda con el género aritmético para las variedades algebraicas, ya que el género aritmético también es 1 para los espacios proyectivos complejos. Esta observación es una consecuencia del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y, de hecho, es uno de los desarrollos clave que llevaron a la formulación de ese teorema. ${\displaystyle \mathrm {Td} _{n}(\mathbb {CP} ^{n})=1}$

género

El género es el género asociado a la serie de potencias características

${\displaystyle Q(z)={\frac {{\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}}{\sinh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)}}=1-{\frac {z}{24}}+{\frac {7z^{2}}{5760}}-\cdots }$

(También existe un género A que se utiliza con menos frecuencia, asociado a la serie característica ). Los primeros valores son ${\displaystyle Q(16z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{0}&=1\\{\hat {A}}_{1}&=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}\\{\hat {A}}_{2}&={\tfrac {1}{5760}}\left(-4p_{2}+7p_{1}^{2}\right)\\{\hat {A}}_{3}&={\tfrac {1}{967680}}\left(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3}\right)\\{\hat {A}}_{4}&={\tfrac {1}{464486400}}\left(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}-904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

El género de una variedad de espín es un entero, y un entero par si la dimensión es 4 módulo 8 (lo que en dimensión 4 implica el teorema de Rochlin ) – para variedades generales, el género no siempre es un entero. Esto fue demostrado por Hirzebruch y Armand Borel ; este resultado motivó y fue explicado posteriormente por el teorema del índice de Atiyah-Singer , que mostró que el género de una variedad de espín es igual al índice de su operador de Dirac .

Combinando este resultado de índice con una fórmula de Weitzenbock para el Laplaciano de Dirac, André Lichnerowicz dedujo que si una variedad de espín compacta admite una métrica con curvatura escalar positiva, su género  debe anularse. Esto solo da una obstrucción a la curvatura escalar positiva cuando la dimensión es un múltiplo de 4, pero Nigel Hitchin descubrió más tarde una obstrucción de valor análogo en dimensiones 1 o 2 módulo 8. Estos resultados son esencialmente precisos. De hecho, Mikhail Gromov , H. Blaine Lawson y Stephan Stolz demostraron más tarde que el género  y el análogo de valor de Hitchin son las únicas obstrucciones a la existencia de métricas de curvatura escalar positiva en variedades de espín simplemente conexas de dimensión mayor o igual a 5. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Género elíptico

Un género se denomina género elíptico si la serie de potencias satisface la condición ${\displaystyle Q(z)=z/f(z)}$

${\displaystyle {f'}^{2}=1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}}$

para constantes y . (Como es habitual, Q es la serie de potencias característica del género). ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Una expresión explícita para f ( z ) es

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{a}}\operatorname {sn} \left(az,{\frac {\sqrt {\epsilon }}{a^{2}}}\right)}$

dónde

${\displaystyle a={\sqrt {\delta +{\sqrt {\delta ^{2}-\epsilon }}}}}$

y sn es la función elíptica de Jacobi.

Ejemplos:

• ${\displaystyle \delta =\epsilon =1,f(z)=\tanh(z)}$Este es el género L.
• ${\displaystyle \delta =-{\frac {1}{8}},\epsilon =0,f(z)=2\sinh \left({\frac {1}{2}}z\right)}$Este es el género.
• ${\displaystyle \epsilon =\delta ^{2},f(z)={\frac {\tanh({\sqrt {\delta }}z)}{\sqrt {\delta }}}}$Esta es una generalización del género L.

Los primeros valores de dichos géneros son:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\delta p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{90}}\left[\left(-4\delta ^{2}+18\epsilon \right)p_{2}+\left(7\delta ^{2}-9\epsilon \right)p_{1}^{2}\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{1890}}\left[\left(16\delta ^{3}+108\delta \epsilon \right)p_{3}+\left(-44\delta ^{3}+18\delta \epsilon \right)p_{2}p_{1}+\left(31\delta ^{3}-27\delta \epsilon \right)p_{1}^{3}\right]}$

Ejemplo (género elíptico para el plano proyectivo cuaterniónico):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(HP^{2})&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )p_{2}+(7\delta ^{2}-9\epsilon )p_{1}^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )(7u^{2})+(7\delta ^{2}-9\epsilon )(2u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}[u^{2}\epsilon ]\\&=\epsilon \int _{HP^{2}}[u^{2}]\\&=\epsilon *1=\epsilon \end{aligned}}}$

Ejemplo (género elíptico para el plano proyectivo octoniónico, o plano de Cayley):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(OP^{2})&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}\left[(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{4}+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{2}^{2}\right]\\&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}{\big [}(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(39u^{2})+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(6u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{OP^{2}}{\big [}\epsilon ^{2}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}\int _{OP^{2}}{\big [}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}*1=\epsilon ^{2}\\&=\Phi _{ell}(HP^{2})^{2}\end{aligned}}}$

Género Witten

El género Witten es el género asociado a la serie de potencias características

${\displaystyle Q(z)={\frac {z}{\sigma _{L}(z)}}=\exp \left(\sum _{k\geq 2}{2G_{2k}(\tau )z^{2k} \over (2k)!}\right)}$

donde σ _L es la función sigma de Weierstrass para la red L , y G es un múltiplo de una serie de Eisenstein .

El género Witten de una variedad de espín suave, orientada y compacta de 4 k dimensiones con primera clase de Pontryagin que se desvanece es una forma modular de peso 2 k , con coeficientes de Fourier integrales.

Véase también

• Teorema del índice de Atiyah-Singer
• Lista de teorías de cohomología

Notas

1. McTague, Carl (2014) "Cálculo de polinomios L de Hirzebruch".
2. Huybrechts, Daniel. "14.1 Existencia, unicidad e incrustaciones de redes". Lecciones sobre superficies K3 (PDF) . p. 285.

Referencias

• Friedrich Hirzebruch Métodos topológicos en geometría algebraica ISBN 3-540-58663-6 Texto de la versión original en alemán: http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/120/6/NeueTopologischeMethoden_2.Aufl.pdf 
• Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Variedades y formas modulares ISBN 3-528-06414-5 
• Milnor, Stasheff, Clases características , ISBN 0-691-08122-0 
• AF Kharshiladze (2001) [1994], "Clase de Pontryagin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Géneros elípticos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]