Construcción de embrague

Construcción topológica

En topología , una rama de las matemáticas, la construcción por embrague es una forma de construir haces de fibras, particularmente haces vectoriales en esferas.

Definición

Consideremos la esfera como la unión de los hemisferios superior e inferior y a lo largo de su intersección, el ecuador, un . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle D_{+}^{n}}$ ${\displaystyle D_{-}^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

Dados haces de fibras trivializados con un grupo de fibras y estructuras sobre los dos hemisferios, entonces dado un mapa (llamado mapa de embrague ), pegue los dos haces triviales juntos a través de f . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to G}$

Formalmente, es el coecualizador de las inclusiones a través de y : pega los dos haces juntos en el límite, con un giro. ${\displaystyle S^{n-1}\times F\to D_{+}^{n}\times F\coprod D_{-}^{n}\times F}$ ${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v)\in D_{+}^{n}\times F}$ ${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,f(x)(v))\in D_{-}^{n}\times F}$

Así pues, tenemos un mapa : al reunir información sobre el ecuador obtenemos un haz de fibras en el espacio total. ${\displaystyle \pi _{n-1}G\to {\text{Fib}}_{F}(S^{n})}$

En el caso de los fibrados vectoriales, esto produce , y de hecho este mapa es un isomorfismo (bajo la suma conexa de esferas a la derecha). ${\displaystyle \pi _{n-1}O(k)\to {\text{Vect}}_{k}(S^{n})}$

Generalización

Lo anterior se puede generalizar reemplazando y con cualquier tríada cerrada , es decir, un espacio X , junto con dos subconjuntos cerrados A y B cuya unión es X. Entonces, una función de embrague en da un fibrado vectorial en X. ${\displaystyle D_{\pm }^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle (X;A,B)}$ ${\displaystyle A\cap B}$

Construcción de mapas de clasificación

Sea un fibrado con fibra . Sea una colección de pares tal que es una trivialización local de sobre . Además, exigimos que la unión de todos los conjuntos sea (es decir, la colección es un atlas de trivializaciones ). ${\displaystyle p\colon M\to N}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle (U_{i},q_{i})}$ ${\displaystyle q_{i}\colon p^{-1}(U_{i})\to N\times F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U_{i}\subset N}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}=N}$

Consideremos que el espacio módulo la relación de equivalencia es equivalente a si y solo si y . Por diseño, las trivializaciones locales dan una equivalencia entre fibras entre este espacio cociente y el fibrado de fibras . ${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}\times F}$ ${\displaystyle (u_{i},f_{i})\in U_{i}\times F}$ ${\displaystyle (u_{j},f_{j})\in U_{j}\times F}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \phi }$ ${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}(u_{j},f_{j})=(u_{i},f_{i})}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p}$

Considere el módulo espacial la relación de equivalencia es equivalente a si y solo si y considere que es una función, entonces exigimos que . Es decir, en nuestra reconstrucción de estamos reemplazando la fibra por el grupo topológico de homeomorfismos de la fibra, . Si se sabe que el grupo de estructura del fibrado se reduce, puede reemplazar con el grupo de estructura reducido. Este es un fibrado sobre con fibra y es un fibrado principal. Denotelo por . La relación con el fibrado anterior se induce a partir del fibrado principal: . ${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}\times \operatorname {Homeo} (F)}$ ${\displaystyle (u_{i},h_{i})\in U_{i}\times \operatorname {Homeo} (F)}$ ${\displaystyle (u_{j},h_{j})\in U_{j}\times \operatorname {Homeo} (F)}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \phi }$ ${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}}$ ${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}:U_{i}\cap U_{j}\to \operatorname {Homeo} (F)}$ ${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}(u_{j})(h_{j})=h_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)}$ ${\displaystyle p\colon M_{p}\to N}$ ${\displaystyle (M_{p}\times F)/\operatorname {Homeo} (F)=M}$

Así que tenemos un fibrado principal . La teoría de los espacios de clasificación nos da una fibración de empuje hacia adelante inducida donde es el espacio de clasificación de . Aquí hay un esquema: ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)\to M_{p}\to N}$ ${\displaystyle M_{p}\to N\to B(\operatorname {Homeo} (F))}$ ${\displaystyle B(\operatorname {Homeo} (F))}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)}$

Dado un fibrado principal , considere el espacio . Este espacio es una fibración de dos maneras diferentes: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to M_{p}\to N}$ ${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG}$

1) Proyectar sobre el primer factor: . La fibra en este caso es , que es un espacio contráctil por la definición de un espacio clasificador. ${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG\to M_{p}/G=N}$ ${\displaystyle EG}$

2) Proyectar sobre el segundo factor: . La fibra en este caso es . ${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG\to EG/G=BG}$ ${\displaystyle M_{p}}$

Por lo tanto, tenemos una fibración . Este mapa se denomina mapa clasificador del haz de fibras , ya que 1) el haz principal es el retroceso del haz a lo largo del mapa clasificador y 2) el haz se induce a partir del haz principal, como se indicó anteriormente. ${\displaystyle M_{p}\to N\simeq M_{p}\times _{G}EG\to BG}$ ${\displaystyle p\colon M\to N}$ ${\displaystyle G\to M_{p}\to N}$ ${\displaystyle G\to EG\to BG}$ ${\displaystyle p}$

Contraste con esferas retorcidas

A veces se hace referencia a las esferas retorcidas como una construcción de "tipo embrague", pero esto es engañoso: la construcción de tipo embrague se refiere propiamente a haces de fibras.

• En las esferas retorcidas, se pegan dos mitades a lo largo de su borde. Las mitades están identificadas a priori (con la bola estándar ) y los puntos de la esfera límite no van, en general, a sus puntos correspondientes en la otra esfera límite. Esto es un mapa : el pegado no es trivial en la base. ${\displaystyle S^{n-1}\to S^{n-1}}$
• En la construcción de embrague, se pegan dos haces juntos sobre el límite de sus hemisferios de base. Las esferas de borde se pegan entre sí mediante la identificación estándar: cada punto va al correspondiente, pero cada fibra tiene una torsión. Esto es un mapa : el pegado es trivial en la base, pero no en las fibras. ${\displaystyle S^{n-1}\to G}$

Ejemplos

La construcción de embrague se utiliza para formar la anomalía quiral , pegando juntas un par de formas de curvatura autoduales. Dichas formas son localmente exactas en cada hemisferio, ya que son diferenciales de la forma 3 de Chern–Simons ; al pegarlas juntas, la forma de curvatura ya no es globalmente exacta (y por lo tanto tiene un grupo de homotopía no trivial ). ${\displaystyle \pi _{3}.}$

Se pueden encontrar construcciones similares para varios instantones , incluido el modelo de Wess-Zumino-Witten .

Véase también

• El truco de Alexander

Referencias

• Libro en progreso de Allen Hatcher Vector Bundles & K-Theory versión 2.0, pág. 22.

Enlaces externos

• Construcción de embrague en nLab