En matemáticas , la homología de Floer es una herramienta para estudiar la geometría simpléctica y la topología de baja dimensión . La homología de Floer es un invariante novedoso que surge como un análogo de dimensión infinita de la homología de Morse de dimensión finita . Andreas Floer introdujo la primera versión de la homología de Floer, ahora llamada homología simpléctica de Floer, en su prueba de la conjetura de Arnold en geometría simpléctica. Floer también desarrolló una teoría estrechamente relacionada para las subvariedades lagrangianas de una variedad simpléctica . Una tercera construcción, también debida a Floer, asocia grupos de homología a variedades tridimensionales cerradas utilizando el funcional de Yang-Mills . Estas construcciones y sus descendientes juegan un papel fundamental en las investigaciones actuales sobre la topología de las variedades simplécticas y de contacto, así como de las variedades tridimensionales y cuatridimensionales (suaves).
La homología de Floer se define típicamente asociando al objeto de interés una variedad de dimensión infinita y una función de valor real en ella. En la versión simpléctica, este es el espacio de bucle libre de una variedad simpléctica con el funcional de acción simpléctica. Para la versión ( instantón ) para variedades tridimensionales, es el espacio de conexiones SU(2) en una variedad tridimensional con el funcional de Chern–Simons . En términos generales, la homología de Floer es la homología de Morse de la función en la variedad de dimensión infinita. Un complejo de cadena de Floer se forma a partir del grupo abeliano abarcado por los puntos críticos de la función (o posiblemente ciertas colecciones de puntos críticos). La diferencial del complejo de cadena se define contando las líneas de flujo del campo de vector gradiente de la función que conecta pares fijos de puntos críticos (o colecciones de los mismos). La homología de Floer es la homología de este complejo de cadena.
La ecuación de la línea de flujo de gradiente, en una situación en la que las ideas de Floer se pueden aplicar con éxito, es típicamente una ecuación geométricamente significativa y analíticamente manejable. Para la homología simpléctica de Floer, la ecuación de flujo de gradiente para un camino en el espacio de bucles es (una versión perturbada de) la ecuación de Cauchy-Riemann para un mapa de un cilindro (el espacio total del camino de bucles) a la variedad simpléctica de interés; las soluciones se conocen como curvas pseudoholomórficas . El teorema de compacidad de Gromov se utiliza entonces para mostrar que los recuentos de líneas de flujo que definen el diferencial son finitos, de modo que el diferencial está bien definido y se eleva al cuadrado a cero. Por lo tanto, se define la homología de Floer. Para la homología de Floer instantón, la ecuación de flujo de gradiente es exactamente la ecuación de Yang-Mills en la variedad triple cruzada con la línea real.
La Homología Simpléctica de Floer (SFH) es una teoría de homología asociada a una variedad simpléctica y a un simplectomorfismo no degenerado de la misma. Si el simplécticomorfismo es hamiltoniano , la homología surge del estudio del funcional de acción simpléctica sobre el ( recubrimiento universal del) espacio de bucles libres de una variedad simpléctica. La SFH es invariante bajo la isotopía hamiltoniana del simplécticomorfismo.
Aquí, la no degeneración significa que 1 no es un valor propio de la derivada del simplectomorfismo en ninguno de sus puntos fijos. Esta condición implica que los puntos fijos están aislados. SFH es la homología del complejo de cadena generado por los puntos fijos de tal simplectomorfismo, donde el diferencial cuenta ciertas curvas pseudoholomorfas en el producto de la línea real y el toro de aplicación del simplectomorfismo. Esto en sí mismo es una variedad simpléctica de dimensión dos mayor que la variedad original. Para una elección apropiada de estructura casi compleja , las curvas holomorfas perforadas (de energía finita) en ella tienen extremos cilíndricos asintóticos a los bucles en el toro de aplicación correspondientes a puntos fijos del simplectomorfismo. Se puede definir un índice relativo entre pares de puntos fijos, y el diferencial cuenta el número de cilindros holomorfos con índice relativo 1.
La homología simpléctica de Floer de un simplectomorfismo hamiltoniano de una variedad compacta es isomorfa a la homología singular de la variedad subyacente. Por lo tanto, la suma de los números de Betti de esa variedad produce el límite inferior predicho por una versión de la conjetura de Arnold para el número de puntos fijos para un simplectomorfismo no degenerado. La SFH de un simplectomorfismo hamiltoniano también tiene un producto de par de pantalones que es un producto de copa deformado equivalente a la cohomología cuántica . También existe una versión del producto para simplectomorfismos no exactos.
Para el fibrado cotangente de una variedad M, la homología de Floer depende de la elección del hamiltoniano debido a su no compacidad. Para los hamiltonianos que son cuadráticos en el infinito, la homología de Floer es la homología singular del espacio de bucles libres de M (las pruebas de varias versiones de esta afirmación se deben a Viterbo, Salamon-Weber, Abbondandolo-Schwarz y Cohen). Hay operaciones más complicadas sobre la homología de Floer de un fibrado cotangente que corresponden a las operaciones de topología de cuerdas sobre la homología del espacio de bucles de la variedad subyacente.
La versión simpléctica de la homología de Floer figura de manera crucial en la formulación de la conjetura de simetría especular homológica .
En 1996, S. Piunikhin, D. Salamon y M. Schwarz resumieron los resultados sobre la relación entre la homología de Floer y la cohomología cuántica y los formularon de la siguiente manera: Piunikhin, Salamon y Schwarz (1996)
La condición anterior de semipositividad y compacidad de la variedad simpléctica M es necesaria para obtener el anillo de Novikov y para la definición tanto de la homología de Floer como de la cohomología cuántica. La condición semipositiva significa que se cumple una de las siguientes condiciones (nótese que los tres casos no son disjuntos):
El grupo de cohomología cuántica de la variedad simpléctica M se puede definir como los productos tensoriales de la cohomología ordinaria con el anillo de Novikov Λ, es decir
Esta construcción de la homología de Floer explica la independencia en la elección de la estructura casi compleja en M y el isomorfismo a la homología de Floer proporcionada por las ideas de la teoría de Morse y las curvas pseudoholomórficas , donde debemos reconocer la dualidad de Poincaré entre homología y cohomología como trasfondo.
Existen varias homologías de Floer equivalentes asociadas a variedades tridimensionales cerradas . Cada una de ellas produce tres tipos de grupos de homología, que encajan en un triángulo exacto . Un nudo en una variedad tridimensional induce una filtración en el complejo de cadena de cada teoría, cuyo tipo de homotopía de cadena es un invariante de nudo. (Sus homologías satisfacen propiedades formales similares a la homología de Khovanov definida combinatoriamente ).
Estas homologías están estrechamente relacionadas con los invariantes de Donaldson y Seiberg de 4-variedades, así como con el invariante de Gromov de Taubes de 4-variedades simplécticas; las diferenciales de las homologías de tres variedades correspondientes a estas teorías se estudian considerando soluciones a las ecuaciones diferenciales relevantes ( Yang–Mills , Seiberg–Witten y Cauchy–Riemann , respectivamente) en el cruce de 3-variedades R. Las homologías de Floer de 3-variedades también deberían ser el objetivo de invariantes relativos para cuatro-variedades con borde, relacionadas mediante construcciones de pegado a los invariantes de una 4-variedad cerrada obtenida mediante el pegado de 3-variedades acotadas a lo largo de sus bordes. (Esto está estrechamente relacionado con la noción de una teoría cuántica de campos topológica ). Para la homología de Floer de Heegaard, primero se definió la homología de 3-variedades, y luego se definió un invariante para 4-variedades cerradas en términos de ella.
También existen extensiones de las homologías de 3-variedades a 3-variedades con borde: homología de Floer suturada (Juhász 2008) y homología de Floer bordeada (Lipshitz, Ozsváth y Thurston 2008). Estas se relacionan con los invariantes para 3-variedades cerradas mediante fórmulas de pegado para la homología de Floer de una 3-variedad descrita como la unión a lo largo del borde de dos 3-variedades con borde.
Las homologías de Floer de tres variedades también vienen equipadas con un elemento distinguido de la homología si la variedad triple está equipada con una estructura de contacto . Kronheimer y Mrowka introdujeron por primera vez el elemento de contacto en el caso de Seiberg-Witten. Ozsvath y Szabo lo construyeron para la homología de Floer de Heegaard utilizando la relación de Giroux entre variedades de contacto y descomposiciones de libro abierto, y viene gratis, como la clase de homología del conjunto vacío, en la homología de contacto incrustada. (La cual, a diferencia de las otras tres, requiere una estructura de contacto para su definición. Para la homología de contacto incrustada, consulte Hutchings (2009).
Todas estas teorías vienen equipadas con gradaciones relativas a priori; éstas han sido elevadas a gradaciones absolutas (por clases de homotopía de cuerpos orientados de 2 planos) por Kronheimer y Mrowka (para SWF), Gripp y Huang (para HF) y Hutchings (para ECH). Cristofaro-Gardiner ha demostrado que el isomorfismo de Taubes entre ECH y la cohomología de Seiberg–Witten Floer preserva estas gradaciones absolutas.
Este es un invariante de tres variedades conectado a la teoría de Donaldson introducida por el propio Floer. Se obtiene utilizando el funcional de Chern-Simons en el espacio de conexiones en un fibrado principal SU(2) sobre la tres variedades (más precisamente, 3-esferas de homología). Sus puntos críticos son conexiones planas y sus líneas de flujo son instantones , es decir, conexiones anti-auto-duales en la tres variedades cruzadas con la línea real. La homología de Floer de instantones puede verse como una generalización del invariante de Casson porque la característica de Euler de la homología de Floer concuerda con el invariante de Casson.
Poco después de que Floer introdujera la homología de Floer, Donaldson se dio cuenta de que los cobordismos inducen mapas. Este fue el primer ejemplo de la estructura que llegó a conocerse como teoría cuántica de campos topológica .
La homología de Floer de Seiberg–Witten u homología de Floer monopolar es una teoría de homología para variedades 3- suaves (equipadas con una estructura de espín c ). Puede verse como la homología de Morse del funcional de Chern–Simons–Dirac en conexiones U(1) en la variedad 3. La ecuación de flujo de gradiente asociada corresponde a las ecuaciones de Seiberg–Witten en la variedad 3 cruzada con la línea real. De manera equivalente, los generadores del complejo de cadena son soluciones invariantes de traslación para las ecuaciones de Seiberg–Witten (conocidas como monopolos) en el producto de una variedad 3 y la línea real, y las soluciones de conteos diferenciales para las ecuaciones de Seiberg–Witten en el producto de una variedad 3 y la línea real, que son asintóticas a soluciones invariantes en infinito e infinito negativo.
Una versión de la homología de Seiberg–Witten–Floer fue construida rigurosamente en la monografía Monopoles and Three-manifolds de Peter Kronheimer y Tomasz Mrowka , donde se la conoce como homología monopolar de Floer. Taubes ha demostrado que es isomorfa a la homología de contacto embebida. Manolescu (2003) y Frøyshov (2010) han dado construcciones alternativas de SWF para 3-esferas de homología racional; se sabe que concuerdan.
Homología de Heegaard Floer // es un invariante debido aPeter OzsváthyZoltán Szabóde una 3-variedad cerrada equipada con una estructura de espínc. Se calcula utilizando undiagrama de Heegaarddel espacio a través de una construcción análoga a la homología de Floer de Lagrange. Kutluhan, Lee y Taubes (2020) anunciaron una prueba de que la homología de Floer de Heegaard es isomorfa a la homología de Floer de Seiberg-Witten, y Colin, Ghiggini y Honda (2011) anunciaron una prueba de que la versión plus de la homología de Floer de Heegaard (con orientación inversa) es isomorfa a la homología de contacto embebida.
Un nudo en una variedad triple induce una filtración en los grupos de homología de Floer de Heegaard, y el tipo de homotopía filtrado es un invariante de nudo potente , llamado homología de Floer de nudo. Categoriza el polinomio de Alexander . La homología de Floer de nudo fue definida por Ozsváth y Szabó (2004) e independientemente por Rasmussen (2003). Se sabe que detecta el género de nudo. Usando diagramas de cuadrícula para las divisiones de Heegaard, Manolescu, Ozsváth y Sarkar (2009) le dieron una construcción combinatoria a la homología de Floer de nudo.
La homología de Heegaard Floer de la doble cubierta de S^3 ramificada sobre un nudo está relacionada mediante una secuencia espectral con la homología de Khovanov (Ozsváth y Szabó 2005).
La versión "sombrero" de la homología de Heegaard Floer fue descrita combinatoriamente por Sarkar y Wang (2010). Las versiones "más" y "menos" de la homología de Heegaard Floer, y los invariantes de cuatro variedades de Ozsváth–Szabó relacionados, también pueden describirse combinatoriamente (Manolescu, Ozsváth y Thurston 2009).
La homología de contacto incrustada , debida a Michael Hutchings , es un invariante de 3-variedades (con una segunda clase de homología distinguida, correspondiente a la elección de una estructura de espín c en la homología de Seiberg–Witten Floer) isomorfa (por el trabajo de Clifford Taubes ) a la cohomología de Seiberg–Witten Floer y, en consecuencia (por el trabajo anunciado por Kutluhan, Lee y Taubes 2020 y Colin, Ghiggini y Honda 2011) a la versión plus de la homología de Heegaard Floer (con orientación inversa). Puede verse como una extensión del invariante de Gromov de Taubes , conocido por ser equivalente al invariante de Seiberg–Witten , desde 4-variedades simplécticas cerradas hasta ciertas 4-variedades simplécticas no compactas (a saber, una cruz R de tres variedades de contacto). Su construcción es análoga a la teoría simpléctica de campos, en el sentido de que se genera a partir de ciertas colecciones de órbitas de Reeb cerradas y su diferencial cuenta ciertas curvas holomorfas con extremos en ciertas colecciones de órbitas de Reeb. Se diferencia de la SFT en las condiciones técnicas sobre las colecciones de órbitas de Reeb que la generan, y en que no cuenta todas las curvas holomorfas con índice de Fredholm 1 con extremos dados, sino solo aquellas que también satisfacen una condición topológica dada por el índice ECH , lo que en particular implica que las curvas consideradas están (principalmente) embebidas.
La conjetura de Weinstein de que una 3-variedad de contacto tiene una órbita de Reeb cerrada para cualquier forma de contacto se cumple en cualquier variedad cuyo ECH no sea trivial, y fue demostrada por Taubes utilizando técnicas estrechamente relacionadas con el ECH; extensiones de este trabajo produjeron el isomorfismo entre ECH y SWF. Muchas construcciones en ECH (incluida su buena definición) se basan en este isomorfismo (Taubes 2007).
El elemento de contacto de ECH tiene una forma particularmente bonita: es el ciclo asociado a la colección vacía de órbitas de Reeb.
Se puede definir un análogo de la homología de contacto embebida para mapear toros de simplectomorfismos de una superficie (posiblemente con borde) y se conoce como homología periódica de Floer, que generaliza la homología simpléctica de Floer de simplectomorfismos de superficie. De manera más general, se puede definir con respecto a cualquier estructura hamiltoniana estable en la variedad 3; al igual que las estructuras de contacto, las estructuras hamiltonianas estables definen un campo vectorial no nulo (el campo vectorial de Reeb), y Hutchings y Taubes han demostrado un análogo de la conjetura de Weinstein para ellas, es decir, que siempre tienen órbitas cerradas (a menos que estén mapeando toros de un 2-toro).
La homología de Floer lagrangiana de dos subvariedades lagrangianas que se intersecan transversalmente de una variedad simpléctica es la homología de un complejo de cadena generado por los puntos de intersección de las dos subvariedades y cuyo diferencial cuenta los discos de Whitney pseudoholomorfos .
Dadas tres subvariedades lagrangianas L 0 , L 1 y L 2 de una variedad simpléctica, existe una estructura de producto en la homología de Floer lagrangiana:
que se define contando triángulos holomorfos (es decir, mapas holomorfos de un triángulo cuyos vértices y aristas se asignan a los puntos de intersección y subvariedades lagrangianas apropiados).
Los artículos sobre este tema se deben a Fukaya, Oh, Ono y Ohta; el trabajo reciente sobre "homología de cúmulos" de Lalonde y Cornea ofrece un enfoque diferente. La homología de Floer de un par de subvariedades lagrangianas puede no existir siempre; cuando existe, proporciona un obstáculo para separar un lagrangiano del otro mediante una isotopía hamiltoniana .
Varios tipos de homología de Floer son casos especiales de homología de Floer lagrangiana. La homología simpléctica de Floer de un simplectomorfismo de M puede considerarse como un caso de homología de Floer lagrangiana en el que la variedad ambiente es M cruzada con M y las subvariedades lagrangianas son la diagonal y el gráfico del simplectomorfismo. La construcción de la homología de Floer de Heegaard se basa en una variante de la homología de Floer lagrangiana para subvariedades totalmente reales definidas utilizando una división de Heegaard de una variedad triple. Seidel–Smith y Manolescu construyeron un invariante de enlace como un caso determinado de homología de Floer lagrangiana, que conjeturalmente concuerda con la homología de Khovanov , un invariante de enlace definido combinatoriamente.
La conjetura de Atiyah-Floer conecta la homología de Floer del instantón con la homología de Floer de la intersección lagrangiana. [1] Considérese una 3-variedad Y con una división de Heegaard a lo largo de una superficie . Entonces el espacio de conexiones planas en equivalencia de calibre módulo es una variedad simpléctica de dimensión 6 g − 6, donde g es el género de la superficie . En la división de Heegaard, limita dos 3-variedades diferentes; el espacio de conexiones planas módulo equivalencia de calibre en cada 3-variedad con incrustaciones de frontera en como una subvariedad lagrangiana. Se puede considerar la homología de Floer de la intersección lagrangiana. Alternativamente, podemos considerar la homología de Floer del instantón de la 3-variedad Y. La conjetura de Atiyah-Floer afirma que estos dos invariantes son isomorfos.
La conjetura de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich predice una igualdad entre la homología de Floer de los lagrangianos en una variedad de Calabi–Yau y los grupos Ext de haces coherentes en la variedad especular de Calabi–Yau. En esta situación, no se debe centrar la atención en los grupos de homología de Floer, sino en los grupos de cadenas de Floer. De forma similar al producto de los pares de pantalones, se pueden construir composiciones múltiples utilizando n -gonos pseudoholomórficos . Estas composiciones satisfacen las relaciones - que convierten la categoría de todas las subvariedades lagrangianas (sin obstrucciones) en una variedad simpléctica en una -categoría, llamada categoría de Fukaya .
Para ser más precisos, se deben agregar datos adicionales al lagrangiano: una gradación y una estructura de espín . Un lagrangiano con una elección de estas estructuras a menudo se denomina brana en homenaje a la física subyacente. La conjetura de simetría especular homológica establece que existe un tipo de equivalencia de Morita derivada entre la categoría de Fukaya del Calabi-Yau y una categoría dg subyacente a la categoría derivada acotada de haces coherentes del espejo, y viceversa.
Esta es una invariante de las variedades de contacto y cobordismos simplécticos entre ellas, originalmente debida a Yakov Eliashberg , Alexander Givental y Helmut Hofer . La teoría simpléctica de campos así como sus subcomplejos, la teoría simpléctica racional de campos y la homología de contacto, se definen como homologías de álgebras diferenciales, que son generadas por órbitas cerradas del campo vectorial de Reeb de una forma de contacto elegida. La diferencial cuenta ciertas curvas holomorfas en el cilindro sobre la variedad de contacto, donde los ejemplos triviales son los recubrimientos ramificados de cilindros (triviales) sobre órbitas de Reeb cerradas. Incluye además una teoría de homología lineal, llamada homología de contacto cilíndrica o linealizada (a veces, por abuso de notación, simplemente homología de contacto), cuyos grupos de cadena son espacios vectoriales generados por órbitas cerradas y cuyos diferenciales cuentan solo cilindros holomorfos. Sin embargo, la homología de contacto cilíndrico no siempre está definida debido a la presencia de discos holomorfos y a la falta de regularidad y resultados de transversalidad. En situaciones en las que la homología de contacto cilíndrico tiene sentido, puede verse como la homología de Morse (ligeramente modificada) del funcional de acción en el espacio de bucle libre, que envía un bucle a la integral de la forma de contacto alfa sobre el bucle. Las órbitas de Reeb son los puntos críticos de este funcional.
La SFT también asocia un invariante relativo de una subvariedad legendriana de una variedad de contacto conocida como homología de contacto relativa . Sus generadores son cuerdas de Reeb, que son trayectorias del campo vectorial de Reeb que comienzan y terminan en un lagrangiano, y su diferencial cuenta ciertas franjas holomorfas en la simplicidad de la variedad de contacto cuyos extremos son asintóticos a las cuerdas de Reeb dadas.
En la teoría de la teoría de campos simpléctica, las variedades de contacto pueden reemplazarse mediante la aplicación de toros de variedades simplécticas con simplectomorfismos. Si bien la homología de contacto cilíndrica está bien definida y se da por las homologías simplécticas de Floer de las potencias del simplectomorfismo, la teoría de campos simpléctica (racional) y la homología de contacto pueden considerarse como homologías simplécticas generalizadas de Floer. Sin embargo, en el caso importante en el que el simplectomorfismo es la función de tiempo-uno de un hamiltoniano dependiente del tiempo, se demostró que estos invariantes superiores no contienen ninguna información adicional.
Una forma concebible de construir una teoría de homología de Floer de algún objeto sería construir un espectro relacionado cuya homología ordinaria sea la homología de Floer deseada. La aplicación de otras teorías de homología a dicho espectro podría producir otros invariantes interesantes. Esta estrategia fue propuesta por Ralph Cohen, John Jones y Graeme Segal , y llevada a cabo en ciertos casos para la homología de Seiberg–Witten–Floer por Manolescu (2003) y para la homología simpléctica de Floer de fibrados cotangentes por Cohen. Este enfoque fue la base de la construcción de Manolescu en 2013 de la homología de Seiberg–Witten Floer Pin (2)-equivariante, con la que refutó la Conjetura de Triangulación para variedades de dimensión 5 y superior.
Muchas de estas homologías de Floer no han sido construidas de manera completa y rigurosa, y muchas equivalencias conjeturales no han sido probadas. Surgen dificultades técnicas en el análisis involucrado, especialmente en la construcción de espacios de módulos compactificados de curvas pseudoholomorfas. Hofer, en colaboración con Kris Wysocki y Eduard Zehnder, ha desarrollado nuevos fundamentos analíticos a través de su teoría de polifolds y una "teoría general de Fredholm". Si bien el proyecto de polifolds aún no está completamente completado, en algunos casos importantes se demostró la transversalidad utilizando métodos más simples.
Las homologías de Floer son generalmente difíciles de calcular explícitamente. Por ejemplo, la homología simpléctica de Floer para todos los simplectomorfismos de superficie se completó recién en 2007. La homología de Floer de Heegaard ha sido un éxito en este sentido: los investigadores han explotado su estructura algebraica para calcularla para varias clases de 3-variedades y han encontrado algoritmos combinatorios para el cálculo de gran parte de la teoría. También está conectada con invariantes y estructuras existentes y ha dado como resultado muchos conocimientos sobre la topología de 3-variedades.
![{\displaystyle \langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49773a35ec00315c49bc758ca60ea2f170f61ad)
