En matemáticas , la homología de Khovanov es un invariante de enlace orientado que surge como la cohomología de un complejo de cocadena . Puede considerarse como una categorización del polinomio de Jones .
Fue desarrollado a finales de la década de 1990 por Mikhail Khovanov .
A cualquier diagrama de enlace D que represente un enlace L , asignamos el corchete de Khovanov [ D ] , un complejo de cocadena de espacios vectoriales graduados . Este es el análogo del corchete de Kauffman en la construcción del polinomio de Jones . A continuación, normalizamos [ D ] mediante una serie de desplazamientos de grado (en los espacios vectoriales graduados ) y desplazamientos de altura (en el complejo de cocadena ) para obtener un nuevo complejo de cocadena C ( D ). La cohomología de este complejo de cocadena resulta ser un invariante de L , y su característica de Euler graduada es el polinomio de Jones de L .
Esta definición sigue el formalismo dado en el artículo de Dror Bar-Natan de 2002.
Sea { l } la operación de desplazamiento de grado en espacios vectoriales graduados, es decir, el componente homogéneo en dimensión m se desplaza hasta la dimensión m + l .
De manera similar, sea [ s ] la operación de desplazamiento de altura en complejos de cocadenas, es decir, el espacio vectorial o módulo r en el complejo se desplaza a lo largo del lugar ( r + s ) y todos los mapas diferenciales se desplazan en consecuencia.
Sea V un espacio vectorial graduado con un generador q de grado 1 y un generador q −1 de grado −1.
Ahora tomemos un diagrama arbitrario D que represente un enlace L. Los axiomas para el corchete de Khovanov son los siguientes:
En el tercero de estos, F denota la operación de "aplanamiento", donde se forma un complejo simple a partir de un complejo doble tomando sumas directas a lo largo de las diagonales. Además, D 0 denota el "suavizado 0" de un cruce elegido en D , y D 1 denota el "suavizado 1", análogamente a la relación de madeja para el corchete de Kauffman.
A continuación, construimos el complejo «normalizado» C ( D ) = [ D ] [− n − ]{ n + − 2 n − }, donde n − denota el número de cruces hacia la izquierda en el diagrama elegido para D , y n + el número de cruces hacia la derecha.
La homología de Khovanov de L se define entonces como la cohomología H ( L ) de este complejo C ( D ). Resulta que la homología de Khovanov es de hecho un invariante de L , y no depende de la elección del diagrama. La característica de Euler graduada de H ( L ) resulta ser el polinomio de Jones de L . Sin embargo, se ha demostrado que H ( L ) contiene más información sobre L que el polinomio de Jones , pero los detalles exactos aún no se comprenden por completo.
En 2006, Dror Bar-Natan desarrolló un programa informático para calcular la homología (o categoría) de Khovanov para cualquier nudo. [1]
Uno de los aspectos más interesantes de la homología de Khovanov es que sus secuencias exactas son formalmente similares a las que surgen en la homología de Floer de 3-variedades . Además, se ha utilizado para producir otra prueba de un resultado demostrado por primera vez utilizando la teoría de calibre y sus primas: la nueva prueba de Jacob Rasmussen de un teorema de Peter Kronheimer y Tomasz Mrowka , anteriormente conocido como la conjetura de Milnor (ver más abajo). Hay una secuencia espectral que relaciona la homología de Khovanov con la homología de Floer del nudo de Peter Ozsváth y Zoltán Szabó (Dowlin 2018). [2] Esta secuencia espectral resolvió una conjetura anterior sobre la relación entre las dos teorías (Dunfield et al. 2005). Otra secuencia espectral (Ozsváth-Szabó 2005) relaciona una variante de la homología de Khovanov con la homología de Floer de Heegaard de la doble cubierta ramificada a lo largo de un nudo. Un tercero (Bloom 2009) converge a una variante de la homología de Floer monopolar de la doble cubierta ramificada. En 2010, Kronheimer y Mrowka [3] exhibieron una secuencia espectral adyacente a su grupo de homología de Floer del nudo instantón y la usaron para demostrar que la homología de Khovanov (al igual que la homología de Floer del nudo instantón) detecta el nudo no formado.
La homología de Khovanov está relacionada con la teoría de representación del álgebra de Lie sl 2 . Mikhail Khovanov y Lev Rozansky han definido desde entonces teorías de homología asociadas a sl n para todo n . En 2003, Catharina Stroppel extendió la homología de Khovanov a un invariante de enredos (una versión categorizada de los invariantes de Reshetikhin-Turaev) que también se generaliza a sl n para todo n . Paul Seidel e Ivan Smith han construido una teoría de homología de nudos de grado simple utilizando la homología de Floer de intersección lagrangiana , que conjeturan que es isomorfa a una versión de grado simple de la homología de Khovanov. Ciprian Manolescu ha simplificado desde entonces su construcción y ha demostrado cómo recuperar el polinomio de Jones a partir del complejo de cocadena subyacente a su versión del invariante de Seidel-Smith.
En el Congreso Internacional de Matemáticos de 2006, Mikhail Khovanov proporcionó la siguiente explicación de la relación con los polinomios de nudo desde el punto de vista de la homología de Khovanov. La relación de madeja para tres enlaces se describe como
La sustitución conduce a un polinomio de enlace invariante , normalizado de modo que
Porque el polinomio puede interpretarse a través de la teoría de representación del grupo cuántico y a través de la superálgebra cuántica de Lie .
La primera aplicación de la homología de Khovanov fue proporcionada por Jacob Rasmussen, quien definió el invariante s utilizando la homología de Khovanov. Este invariante de valor entero de un nudo proporciona un límite en el género de la porción y es suficiente para probar la conjetura de Milnor .
En 2010, Kronheimer y Mrowka demostraron que la homología de Khovanov detecta el nudo . La teoría categorizada tiene más información que la teoría no categorizada. Aunque la homología de Khovanov detecta el nudo, aún no se sabe si el polinomio de Jones lo hace.
![{\displaystyle P_{n}(L)\in \mathbb {Z} [q,q^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ad21c33c9300414f8e43108a1d68d99889dbd1)
