Complejo doble

Concepto matemático

En matemáticas , específicamente en álgebra homológica , un complejo doble es una generalización de un complejo en cadena donde, en lugar de tener una calificación , los objetos en el bicomplejo tienen una calificación . La definición más general de un complejo doble, o bicomplejo, se da con objetos en una categoría aditiva . Un bicomplejo ^[1] es una secuencia de objetos con dos diferenciales, la diferencial horizontal ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle C_{p,q}\in {\text{Ob}}({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle d^{h}:C_{p,q}\to C_{p+1,q}}$

y el diferencial vertical

${\displaystyle d^{v}:C_{p,q}\to C_{p,q+1}}$

que tienen la relación de compatibilidad

${\displaystyle d_{h}\circ d_{v}=d_{v}\circ d_{h}}$

Por lo tanto, un complejo doble es un diagrama conmutativo de la forma

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\vdots &&\vdots &&\\&&\uparrow &&\uparrow &&\\\cdots &\to &C_{p,q+1}&\to &C_{p+1,q+1}&\to &\cdots \\&&\uparrow &&\uparrow &&\\\cdots &\to &C_{p,q}&\to &C_{p+1,q}&\to &\cdots \\&&\uparrow &&\uparrow &&\\&&\vdots &&\vdots &&\\\end{matrix}}}$

donde las filas y columnas forman complejos de cadena.

Algunos autores ^[2], en cambio, exigen que los cuadrados sean anticonmutativos. Es decir

${\displaystyle d_{h}\circ d_{v}+d_{v}\circ d_{h}=0.}$

Esto facilita la definición de complejos totales. Al establecer , podemos alternar entre conmutatividad y anticonmutatividad. Si se utiliza la definición conmutativa, este signo alternado deberá aparecer en la definición de complejos totales. ${\displaystyle f_{p,q}=(-1)^{p}d_{p,q}^{v}\colon C_{p,q}\to C_{p,q-1}}$

Ejemplos

Existen muchos ejemplos naturales de bicomplejos que surgen en la naturaleza. En particular, para un grupoide de Lie , hay un bicomplejo asociado a él ^{[3] pág. 7-8} que se puede utilizar para construir su complejo de-Rham .

Otro ejemplo común de bicomplejos se encuentra en la teoría de Hodge , donde en una variedad casi compleja hay un bicomplejo de formas diferenciales cuyos componentes son lineales o antilineales. Por ejemplo, si son las coordenadas complejas de y son el conjugado complejo de estas coordenadas, una forma - es de la forma ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega ^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {z}}_{1},{\overline {z}}_{2}}$ ${\displaystyle (1,1)}$

${\displaystyle f_{a,b}dz_{a}\wedge d{\overline {z}}_{b}}$

Véase también

1. "Sección 12.18 (0FNB): Complejos dobles y complejos totales asociados: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 8 de julio de 2021 .
2. Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica. Cambridge [Inglaterra]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64863-9.OCLC 847527211  .
3. Block, Jonathan; Daenzer, Calder (9 de enero de 2009). "Dualidad de Mukai para gerbes con conexión". arXiv : 0803.1529 [math.QA].

• Complejo de cadena
• Geometría algebraica derivada

Aplicaciones adicionales

• https://web.archive.org/web/20210708183754/http://www.dma.unifi.it/~vezzosi/papers/tou.pdf