En matemáticas , específicamente en el campo de la topología diferencial , la homología de Morse es una teoría de homología definida para cualquier variedad lisa . Se construye utilizando la estructura lisa y una métrica auxiliar en la variedad, pero resulta ser topológicamente invariante y, de hecho, es isomorfa a la homología singular . La homología de Morse también sirve como modelo para las diversas generalizaciones de dimensión infinita conocidas como teorías de homología de Floer .
Dada cualquier variedad (compacta) lisa, sea f una función de Morse y g una métrica de Riemann en la variedad. (Estas son funciones auxiliares; al final, la homología de Morse no depende de ninguna de ellas). El par nos da un campo vectorial gradiente . Decimos que es Morse-Smale si las variedades estable e inestable asociadas a todos los puntos críticos de f se intersecan transversalmente .
Para cualquier par de este tipo , se puede demostrar que la diferencia en el índice entre dos puntos críticos cualesquiera es igual a la dimensión del espacio de módulos de los flujos de gradiente entre esos puntos. Por lo tanto, existe un espacio de módulos unidimensional de flujos entre un punto crítico de índice i y uno de índice . Cada flujo se puede repararmetrizar mediante una traslación unidimensional en el dominio. Después de la modificación mediante estas reparametrizaciones, el espacio cociente es de dimensión cero, es decir, una colección de puntos orientados que representan líneas de flujo no parametrizadas.
Un complejo de cadenas puede definirse entonces de la siguiente manera. El conjunto de cadenas es el módulo Z generado por los puntos críticos. La diferencial d del complejo envía un punto crítico p de índice i a una suma de puntos críticos de índice, con coeficientes correspondientes al número (con signo) de líneas de flujo no parametrizadas desde p hasta esos puntos críticos de índice. El hecho de que el número de tales líneas de flujo sea finito se desprende de la compacidad del espacio de módulos.
El hecho de que esto defina un complejo de cadena (es decir, que ) se desprende de una comprensión de cómo los espacios de módulos de flujos de gradiente se compactifican . Es decir, en el coeficiente de un punto crítico de índice q es el número (con signo) de flujos interrumpidos que consisten en un flujo de índice 1 desde p hasta algún punto crítico r de índice y otro flujo de índice 1 desde r hasta q . Estos flujos interrumpidos constituyen exactamente el límite del espacio de módulos de flujos de índice 2: Se puede demostrar que el límite de cualquier secuencia de flujos de índice 2 ininterrumpidos tiene esta forma, y todos esos flujos interrumpidos surgen como límites de flujos de índice 2 ininterrumpidos. Los flujos de índice 2 no parametrizados vienen en familias unidimensionales, que se compactifican para compactar monovariedades con límites. El hecho de que el límite de una monovariedad compacta tenga un conteo con signo cero prueba que .
Se puede demostrar que la homología de este complejo es independiente del par Morse–Smale ( f , g ) utilizado para definirlo. Siempre se puede definir una homotopía de pares ( f t , g t ) que interpola entre dos pares dados cualesquiera ( f 0 , g 0 ) y ( f 1 , g 1 ). Ya sea mediante análisis de bifurcación o utilizando un mapa de continuación para definir un mapa de cadena de a , se puede demostrar que las dos homologías de Morse son isomorfas. Argumentos análogos utilizando una homotopía de homotopías muestran que este isomorfismo es canónico.
Otro enfoque para demostrar la invariancia de la homología de Morse es relacionarla directamente con la homología singular. Se puede definir una función para la homología singular enviando un punto crítico a la cadena singular asociada a la variedad inestable asociada a ese punto; a la inversa, se envía una cadena singular a los puntos críticos límite alcanzados al hacer fluir la cadena utilizando el campo de vectores de gradiente. La forma más clara de hacer esto de manera rigurosa es utilizar la teoría de corrientes .
El isomorfismo con homología singular también se puede demostrar demostrando un isomorfismo con homología celular , considerando una variedad inestable asociada a un punto crítico de índice i como una i -célula, y mostrando que los mapas de límites en los complejos Morse y celulares corresponden.
René Thom y Stephen Smale conocían de alguna forma este enfoque de la teoría de Morse . También está implícito en el libro de John Milnor sobre el teorema del h-cobordismo .
Del hecho de que la homología de Morse es isomorfa a la homología singular, las desigualdades de Morse se deducen considerando el número de generadores —es decir, puntos críticos— necesarios para generar los grupos de homología de los rangos apropiados (y considerando truncamientos del complejo de Morse, para obtener las desigualdades más fuertes). La existencia de la homología de Morse "explica", en el sentido de categorización , las desigualdades de Morse.
A principios de la década de 1980, Edward Witten ideó una construcción relacionada, a veces conocida como teoría Morse-Witten.
La homología de Morse se puede extender a variedades no compactas de dimensión finita o de dimensión infinita donde el índice permanece finito, la métrica es completa y la función satisface la condición de compacidad de Palais-Smale , como la funcional de energía para geodésicas en una variedad de Riemann . La generalización a situaciones en las que tanto el índice como el coíndice son infinitos, pero el índice relativo de cualquier par de puntos críticos es finito, se conoce como homología de Floer .
Sergei Novikov generalizó esta construcción a una teoría de homología asociada a una forma unitaria cerrada en una variedad. La homología de Morse es un caso especial para los df de forma unitaria . Un caso especial de la teoría de Novikov es la teoría de Morse de valores circulares , que Michael Hutchings y Yi-Jen Lee han conectado con la torsión de Reidemeister y la teoría de Seiberg-Witten .
La homología de Morse puede llevarse a cabo en el contexto de Morse-Bott, es decir, cuando en lugar de puntos críticos no degenerados aislados, una función tiene variedades críticas cuyo espacio tangente en un punto coincide con el núcleo de la hessiana en ese punto. Esta situación siempre se dará si la función considerada es invariante respecto de un grupo de Lie no discreto.
Para describir el complejo de cadena resultante y su homología, introduzca una función de Morse genérica en cada subvariedad crítica. Las cadenas consistirán en caminos que comienzan en una variedad crítica en un punto crítico de la función de Morse auxiliar, siguiendo una trayectoria de gradiente con respecto a alguna métrica, y luego abandonan la subvariedad para seguir el campo de vectores de gradiente de la función de Morse-Bott hasta que llega a otra variedad crítica; o bien fluye durante un tiempo a lo largo de una trayectoria de gradiente asociada a la función de Morse en esa subvariedad crítica y luego fluye a otra subvariedad crítica, etc., o fluye a un punto crítico en la subvariedad original y termina. Véase (Frauenfelder). Este enfoque de la homología de Morse-Bott apareció en el contexto de un trabajo inédito de Bourgeois sobre homología de contacto , en el que las subvariedades críticas son los conjuntos de órbitas de Reeb y los flujos de gradiente entre las subvariedades críticas son curvas pseudoholomórficas en la simplificación de una variedad de contacto asintótica a las órbitas de Reeb en las variedades críticas relevantes de las órbitas de Reeb. Si extendemos cada función de Morse a una función en toda la variedad soportada cerca de las subvariedades críticas, podemos escribir explícitamente una función de Morse-Smale que perturbe la función de Morse-Bott original. Es decir, multiplicamos cada una de las funciones extendidas por alguna pequeña constante positiva, las sumamos y añadimos el resultado a la función de Morse-Bott original. Los flujos rotos descritos anteriormente serán C 0 cerca de las líneas de flujo de esta función de Morse-Smale.
