Condición de compacidad de Palais-Smale

La condición de compacidad de Palais-Smale , llamada así por Richard Palais y Stephen Smale , es una hipótesis para algunos teoremas del cálculo de variaciones . Es útil para garantizar la existencia de ciertos tipos de puntos críticos , en particular puntos de silla . La condición de Palais-Smale es una condición sobre el funcional que se intenta extremar.

En espacios de dimensión finita, la condición de Palais-Smale para una función de valor real continuamente diferenciable se satisface automáticamente para funciones propias : funciones que no toman conjuntos no acotados en conjuntos acotados. En el cálculo de variaciones, donde uno típicamente está interesado en espacios de funciones de dimensión infinita , la condición es necesaria porque se necesita alguna noción adicional de compacidad más allá de la simple acotación. Véase, por ejemplo, la prueba del teorema del paso de montaña en la sección 8.5 de Evans.

Formulación fuerte

Una función de Fréchet continuamente diferenciable desde un espacio de Hilbert H a los reales satisface la condición de Palais-Smale si cada secuencia tal que: ${\displaystyle I\in C^{1}(H,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subset H}$

• ${\displaystyle \{I[u_{k}]\}_{k=1}^{\infty }}$está delimitado, y
• ${\displaystyle I'[u_{k}]\rightarrow 0}$En H

tiene una subsecuencia convergente en H .

Formulación débil

Sea X un espacio de Banach y un funcional diferenciable de Gateaux . Se dice que el funcional satisface la condición débil de Palais-Smale si para cada sucesión tal que ${\displaystyle \Phi \colon X\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \{x_{n}\}\subset X}$

• ${\displaystyle \sup |\Phi (x_{n})|<\infty }$,
• ${\displaystyle \lim \Phi '(x_{n})=0}$en , ${\displaystyle X^{*}}$
• ${\displaystyle \Phi (x_{n})\neq 0}$Para todos , ${\displaystyle n\in \mathbf {N} }$

Existe un punto crítico de con ${\displaystyle {\overline {x}}\in X}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \liminf \Phi (x_{n})\leq \Phi ({\overline {x}})\leq \limsup \Phi (x_{n}).}$

Referencias

• Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence, Rhode Island: Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 0-8218-0772-2.
• Mawhin, Jean ; Willem, Michel (2010). "Origen y evolución de la condición de Palais-Smale en la teoría del punto crítico". Revista de teoría del punto fijo y aplicaciones . 7 (2): 265–290. doi :10.1007/s11784-010-0019-7. S2CID  122094186.
• Palais, RS; Smale, S. (1964). "Una teoría de Morse generalizada". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 70 : 165–172. doi : 10.1090/S0002-9904-1964-11062-4 .