En matemáticas , la conjetura de Weinstein se refiere a un problema de existencia general para órbitas periódicas de flujos vectoriales hamiltonianos o de Reeb . Más específicamente, la conjetura afirma que en una variedad de contacto compacta , su campo vectorial Reeb debería llevar al menos una órbita periódica.
Por definición, un conjunto de niveles de tipo de contacto admite una forma de contacto obtenida contrayendo el campo vectorial hamiltoniano a la forma simpléctica. En este caso, el flujo hamiltoniano es un campo vectorial Reeb en ese conjunto de niveles. Es un hecho que cualquier variedad de contacto ( M , α ) puede integrarse en una variedad simpléctica canónica, llamada simplificación de M , de modo que M es un conjunto de niveles de tipo de contacto (de un hamiltoniano definido canónicamente) y el campo vectorial de Reeb es un flujo hamiltoniano. Es decir, se puede fabricar cualquier variedad de contactos que satisfaga los requisitos de la conjetura de Weinstein. Dado que, como es trivial demostrar, cualquier órbita de un flujo hamiltoniano está contenida en un conjunto de niveles, la conjetura de Weinstein es una afirmación sobre variedades de contacto.
Se sabe que cualquier forma de contacto es isotópica a una forma que admite una órbita de Reeb cerrada; por ejemplo, para cualquier variedad de contactos existe una descomposición en libro abierto compatible , cuya unión es una órbita de Reeb cerrada. Sin embargo, esto no es suficiente para probar la conjetura de Weinstein, porque la conjetura de Weinstein establece que cada forma de contacto admite una órbita de Reeb cerrada, mientras que un libro abierto determina una órbita de Reeb cerrada para una forma que es sólo isotópica de la forma dada.
La conjetura fue formulada en 1978 por Alan Weinstein . [1] En varios casos se conoció la existencia de una órbita periódica. Por ejemplo, Rabinowitz demostró que en conjuntos de niveles en forma de estrella de una función hamiltoniana en una variedad simpléctica, siempre había órbitas periódicas (Weinstein demostró de forma independiente el caso especial de conjuntos de niveles convexos). [2] Weinstein observó que las hipótesis de varios de estos teoremas de existencia podrían subsumirse en la condición de que el nivel establecido fuera del tipo de contacto. (La conjetura original de Weinstein incluía la condición de que el primer grupo de cohomología de De Rham del conjunto de niveles fuera trivial; esta hipótesis resultó ser innecesaria).
La conjetura de Weinstein fue probada por primera vez para hipersuperficies de contacto en 1986 por Viterbo , [3] luego extendida a haces cotangentes por Hofer-Viterbo y a clases más amplias de variedades asféricas por Floer-Hofer-Viterbo. Hofer-Viterbo aprovechó la presencia de esferas holomorfas. [4] Todos estos casos abordaron la situación en la que la variedad de contacto es una subvariedad de contacto de una variedad simpléctica. Hofer descubrió un nuevo enfoque sin esta suposición en la dimensión 3 y está en el origen de la homología de contacto. [5]
Clifford Taubes ha demostrado la conjetura de Weinstein para todas las variedades tridimensionales cerradas . [6] La prueba utiliza una variante de la homología Seiberg-Witten Floer y sigue una estrategia análoga a la prueba de Taubes de que los invariantes de Seiberg-Witten y Gromov son equivalentes en una variedad cuádruple simpléctica. En particular, la prueba proporciona un atajo al programa estrechamente relacionado de probar la conjetura de Weinstein al mostrar que la homología de contacto incorporada de cualquier triple variedad de contacto no es trivial.
