Categorización

Conecta la teoría de conjuntos con la teoría de categorías.

En matemáticas , la categorización es el proceso de reemplazar teoremas de teoría de conjuntos con análogos de teoría de categorías . La categorización, cuando se realiza con éxito, reemplaza conjuntos con categorías , funciones con funtores y ecuaciones con isomorfismos naturales de funtores que satisfacen propiedades adicionales. El término fue acuñado por Louis Crane . ^{[1] [2]}

El proceso inverso de la categorización es la descategorización . La descategorización es un proceso sistemático por el cual los objetos isomorfos en una categoría se identifican como iguales . Mientras que la descategorización es un proceso sencillo, la categorización suele ser mucho menos sencilla. En la teoría de la representación de las álgebras de Lie , los módulos sobre álgebras específicas son los principales objetos de estudio, y existen varios marcos para lo que debería ser una categorización de dicho módulo, por ejemplo, las denominadas categorizaciones abelianas (débiles). ^[3]

La categorización y la descategorización no son procedimientos matemáticos precisos, sino más bien una clase de posibles análogos. Se utilizan de manera similar a las palabras « generalización », y no como « sheafificación ». ^[4]

Ejemplos

Una forma de categorización toma una estructura descrita en términos de conjuntos e interpreta los conjuntos como clases de isomorfismo de objetos en una categoría. Por ejemplo, el conjunto de números naturales puede verse como el conjunto de cardinalidades de conjuntos finitos (y dos conjuntos cualesquiera con la misma cardinalidad son isomorfos). En este caso, las operaciones en el conjunto de números naturales, como la adición y la multiplicación, pueden verse como portadoras de información sobre coproductos y productos de la categoría de conjuntos finitos . De manera menos abstracta, la idea aquí es que la manipulación de conjuntos de objetos reales y la toma de coproductos (combinar dos conjuntos en una unión) o productos (construir matrices de cosas para realizar un seguimiento de un gran número de ellas) vinieron primero. Más tarde, la estructura concreta de los conjuntos se abstrajo, se llevó "solo hasta el isomorfismo", para producir la teoría abstracta de la aritmética. Esto es una "descategorización": la categorización invierte este paso.

Otros ejemplos incluyen teorías de homología en topología . Emmy Noether dio la formulación moderna de homología como el rango de ciertos grupos abelianos libres al categorizar la noción de un número de Betti . ^[5] Véase también la homología de Khovanov como un invariante de nudos en la teoría de nudos .

Un ejemplo en la teoría de grupos finitos es que el anillo de funciones simétricas se categoriza por la categoría de representaciones del grupo simétrico . El mapa de descategorización envía el módulo de Specht indexado por partición a la función de Schur indexada por la misma partición. ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle S^{\lambda }{\stackrel {\varphi }{\to }}s_{\lambda },}$

Básicamente, se sigue el mapa de caracteres desde una base favorita del grupo de Grothendieck asociado hasta una base favorita de teoría de la representación del anillo de funciones simétricas . Este mapa refleja cómo son similares las estructuras; por ejemplo

${\displaystyle \left[\operatorname {Ind} _{S_{m}\otimes S_{n}}^{S_{n+m}}(S^{\mu }\otimes S^{\nu })\right]\qquad {\text{ and }}\qquad s_{\mu }s_{\nu }}$

tienen los mismos números de descomposición sobre sus respectivas bases, ambos dados por los coeficientes de Littlewood-Richardson .

Categorizaciones abelianas

Para una categoría , sea el grupo de Grothendieck de . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle K({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Sea un anillo que es libre como grupo abeliano , y sea una base de tal que la multiplicación es positiva en , es decir ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle a_{i}a_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}a_{k},}$con ${\displaystyle c_{ij}^{k}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}.}$

Sea un módulo - . Entonces una categorización abeliana (débil) de consiste en una categoría abeliana , un isomorfismo y endofunctores exactos tales que ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,\mathbf {a} ,B)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \phi :K({\mathcal {B}})\to B}$ ${\displaystyle F_{i}:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}}$

1. el funtor levanta la acción de en el módulo , es decir , y ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi [F_{i}]=a_{i}\phi }$
2. existen isomorfismos , es decir la composición se descompone como suma directa de funtores de la misma manera que el producto se descompone como combinación lineal de elementos base . ${\displaystyle F_{i}F_{j}\cong \bigoplus _{k}F_{k}^{c_{ij}^{k}},}$ ${\displaystyle F_{i}F_{j}}$ ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle a_{i}a_{j}}$ ${\displaystyle a_{k}}$

Véase también

• Prueba combinatoria , proceso de reemplazar teoremas de teoría de números por análogos de teoría de conjuntos.
• Teoría de categorías superiores
• Álgebra de dimensiones superiores
• Anillo categórico

Referencias

1. Crane, Louis; Frenkel, Igor B. (1994-10-01). "Teoría cuántica de campos topológicos de cuatro dimensiones, categorías de Hopf y bases canónicas". Journal of Mathematical Physics . 35 (10): 5136–5154. arXiv : hep-th/9405183 . doi :10.1063/1.530746. ISSN  0022-2488.
2. Crane, Louis (1995-11-01). "Reloj y categoría: ¿es algebraica la gravedad cuántica?". Journal of Mathematical Physics . 36 (11): 6180–6193. arXiv : gr-qc/9504038 . doi :10.1063/1.531240. ISSN  0022-2488.
3. Khovanov, Mikhail ; Mazorchuk, Volodymyr; Stroppel, Catharina (2009), "Una breve revisión de las categorizaciones abelianas", Theory Appl. Categ. , 22 (19): 479–508, arXiv : math.RT/0702746
4. Alex Hoffnung (10 de noviembre de 2009). "¿Qué es exactamente la "categorización"?".
5. Baez y Dolan 1998.

• Baez, John ; Dolan, James (1998), "Categorización", en Getzler, Ezra; Kapranov, Mikhail (eds.), Higher Category Theory , Contemp. Math., vol. 230, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, págs. 1–36, arXiv : math.QA/9802029
• Grúa, Luis; Aún así, David N. (1998), "Ejemplos de categorización", Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , 39 (1): 3–25
• Mazorchuk, Volodymyr (2010), Lecciones sobre categorización algebraica , Serie de clases magistrales de QGM, European Mathematical Society, arXiv : 1011.0144 , Bibcode :2010arXiv1011.0144M
• Savage, Alistair (2014), Introducción a la categorización , arXiv : 1401.6037 , Bibcode :2014arXiv1401.6037S
• Khovanov, Mikhail ; Mazorchuk, Volodymyr; Stroppel, Catharina (2009), "Una breve revisión de las categorizaciones abelianas", Theory Appl. Categ. , 22 (19): 479–508, arXiv : math.RT/0702746

Lectura adicional

• Una publicación de blog de uno de los autores mencionados anteriormente (Baez): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html.