Primer triplete de Hurwitz

En la teoría matemática de las superficies de Riemann , el primer triplete de Hurwitz es un triplete de superficies de Hurwitz distintas con el grupo de automorfismo idéntico del género más bajo posible, a saber, 14 (los géneros 3 y 7 admiten cada uno una superficie de Hurwitz única, respectivamente el cuártico de Klein y el Superficie Macbeath ). La explicación de este fenómeno es aritmética. Es decir, en el anillo de números enteros del campo numérico apropiado, el primo racional 13 se divide como producto de tres ideales primos distintos. Los principales subgrupos de congruencia definidos por el triplete de primos producen grupos fucsianos correspondientes al triplete de superficies de Riemann.

Construcción aritmética

Sea el subcampo real de donde hay una raíz de unidad de séptima primitiva . El anillo de números enteros de K es , donde . Sea el álgebra de cuaterniones , o álgebra de símbolos . También deja y . Dejar . Entonces hay un orden máximo de (ver orden del cuaternión de Hurwitz ), descrito explícitamente por Noam Elkies [1]. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [\rho ]}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\eta ]}$ ${\displaystyle \eta =2\cos({\tfrac {2\pi }{7}})}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (\eta ,\eta )_{K}}$ ${\displaystyle \tau =1+\eta +\eta ^{2}}$ ${\displaystyle j'={\tfrac {1}{2}}(1+\eta i+\tau j)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }=\mathbb {Z} [\eta ][i,j,j']}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$ ${\displaystyle D}$

Para construir el primer triplete de Hurwitz, considere la descomposición prima de 13 en , es decir ${\displaystyle \mathbb {Z} [\eta ]}$

${\displaystyle 13=\eta (\eta +2)(2\eta -1)(3-2\eta )(\eta +3),}$

donde es invertible. Considere también los ideales primos generados por los factores no invertibles. El principal subgrupo de congruencia definido por tal ideal primo I es por definición el grupo ${\displaystyle \eta (\eta +2)}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}(I)=\{x\in {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}:x\equiv 1{\pmod {I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}}\},}$

es decir, el grupo de elementos de norma reducida 1 en equivalente a 1 módulo el ideal . El grupo fucsiano correspondiente se obtiene como imagen del subgrupo de congruencia principal bajo una representación de P SL(2,R) . ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$ ${\displaystyle I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {H} ur}}$

Cada una de las tres superficies de Riemann en el primer triplete de Hurwitz se puede formar como un modelo fucsiano , el cociente del plano hiperbólico por uno de estos tres grupos fucsianos.

Con destino a la longitud sistólica y la relación sistólica

El teorema de Gauss-Bonnet establece que

${\displaystyle \chi (\Sigma )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }K(u)\,dA,}$

donde es la característica de Euler de la superficie y es la curvatura gaussiana . En el caso que tenemos ${\displaystyle \chi (\Sigma )}$ ${\displaystyle K(u)}$ ${\displaystyle g=14}$

${\displaystyle \chi (\Sigma )=-26}$y ${\displaystyle K(u)=-1,}$

así obtenemos que el área de estas superficies es

${\displaystyle 52\pi }$.

El límite inferior de la sístole como se especifica en [2], es decir

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\log(g(\Sigma )),}$

es 3,5187.

Algunos detalles específicos sobre cada una de las superficies se presentan en las siguientes tablas (el número de bucles sistólicos se toma de [3]). El término Traza Sistólica se refiere a la traza menos reducida de un elemento en el subgrupo correspondiente . La relación sistólica es la relación entre el cuadrado de la sístole y el área. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{Hur}^{1}(I)}$

Ver también

• (2,3,7) grupo de triángulos

Referencias

• Elkies, N. (1999). La cuarta de Klein en teoría de números. El camino óctuple . Matemáticas. Ciencia. Res. Inst. Publ. vol. 35. Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa. págs. 51-101.
• Katz, M.; Schaps, M.; Vishne, U. (2007). "Crecimiento logarítmico de la sístole de superficies aritméticas de Riemann a lo largo de subgrupos de congruencia". J. Geometría diferencial . 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 . doi : 10.4310/jdg/1180135693. S2CID  18152345.
• Vogeler, R. (2003). Sobre la geometría de las superficies de Hurwitz (Tesis). Universidad Estatal de Florida.