En geometría hiperbólica , una horósfera (o paráesfera ) es una hipersuperficie específica en el espacio n hiperbólico . Es el límite de una horobola , el límite de una secuencia de bolas crecientes que comparten (por un lado) un hiperplano tangente y su punto de tangencia. Para n = 2, una horósfera se llama horociclo .
Una horósfera también puede describirse como el límite de las hiperesferas que comparten un hiperplano tangente en un punto determinado, ya que sus radios van hacia el infinito. En la geometría euclidiana, una "hiperesfera de radio infinito" sería un hiperplano, pero en la geometría hiperbólica es una horósfera (una superficie curva).
El concepto tiene sus raíces en una noción expresada por FL Wachter en 1816 en una carta a su maestro Gauss . Observando que en la geometría euclidiana el límite de una esfera cuando su radio tiende al infinito es un plano, Wachter afirmó que incluso si el quinto postulado fuera falso, habría no obstante una geometría en la superficie idéntica a la del plano ordinario. [1] Los términos horósfera y horociclo se deben a Lobachevsky , quien estableció diversos resultados demostrando que la geometría de los horociclos y la horósfera en el espacio hiperbólico eran equivalentes a las de las líneas y el plano en el espacio euclidiano. [2] El término "horoball" se debe a William Thurston , quien lo usó en su trabajo sobre 3 variedades hiperbólicas . Los términos horósfera y horobola se utilizan a menudo en geometría hiperbólica tridimensional.
En el modelo de bola conforme , una horósfera está representada por una esfera tangente a la esfera del horizonte. En el modelo del semiespacio superior , una horósfera puede aparecer como una esfera tangente al plano del horizonte o como un plano paralelo al plano del horizonte. En el modelo hiperboloide , una horósfera está representada por un plano cuya normal se encuentra en el cono asintótico.
Una horósfera tiene una cantidad crítica de curvatura (isotrópica): si la curvatura fuera mayor, la superficie podría cerrarse, produciendo una esfera, y si la curvatura fuera menor, la superficie sería una ( N − 1)- hiperciclo dimensional .