Mapa de métricas

En la teoría matemática de los espacios métricos , una aplicación métrica es una función entre espacios métricos que no aumenta ninguna distancia. Estos mapas son los morfismos en la categoría de espacios métricos , Met . ^[1] Estas funciones son siempre funciones continuas . También se denominan funciones de Lipschitz con constante de Lipschitz 1, funciones no expansivas , funciones no expansivas , contracciones débiles o funciones cortas .

Específicamente, supongamos que y son espacios métricos y es una función de a . Por tanto, tenemos un mapa métrico cuando, para cualquier punto y en , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y).\!}$$

${\displaystyle d_{X}}$ ${\displaystyle d_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ejemplos

Consideremos el espacio métrico con la métrica euclidiana . Entonces la función es una aplicación métrica, ya que para , . ${\displaystyle [0,1/2]}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|x+y||x-y|<|x-y|}$

Categoría de mapas métricos

La composición de funciones de dos mapas métricos es otro mapa métrico, y el mapa de identidad en un espacio métrico es un mapa métrico, que también es el elemento de identidad para la composición de funciones. Así, los espacios métricos junto con los mapas métricos forman una categoría Met . Met es una subcategoría de la categoría de espacios métricos y funciones de Lipschitz. Una aplicación entre espacios métricos es una isometría si y sólo si es una aplicación métrica biyectiva cuyo inverso también es una aplicación métrica. Así, los isomorfismos en Met son precisamente las isometrías. ${\displaystyle \mathrm {id} _{M}:M\rightarrow M}$ ${\displaystyle M}$

Mapas estrictamente métricos

Se puede decir que es estrictamente métrica si la desigualdad es estricta para cada dos puntos diferentes. Por tanto, un mapeo de contracción es estrictamente métrico, pero no necesariamente al revés. Tenga en cuenta que una isometría nunca es estrictamente métrica, excepto en el caso degenerado del espacio vacío o un espacio de un solo punto. ${\displaystyle f}$

Versión multivalor

Se dice que una aplicación de un espacio métrico a la familia de subconjuntos no vacíos de es Lipschitz si existe tal que ${\displaystyle T:X\to {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\geq 0}$

$${\displaystyle H(Tx,Ty)\leq Ld(x,y),}$$

distancia de Hausdorffcontracción ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L=1}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L<1}$ ${\displaystyle T}$

Ver también

• Contracción (teoría del operador)  : operadores acotados con norma de subunidad
• Mapeo de contracción  : función que reduce la distancia entre todos los puntos
• Factor de estiramiento  : parámetro matemático de incrustaciones
• Mapa de subcontracción  : función que reduce la distancia entre todos los puntos.Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

1. Isbell, JR (1964). "Seis teoremas sobre espacios métricos inyectivos". Comentario. Matemáticas. Helv . 39 : 65–76. doi :10.1007/BF02566944.