En geometría , un espacio de Hadamard , llamado así en honor a Jacques Hadamard , es una generalización no lineal de un espacio de Hilbert . En la literatura también se definen de manera equivalente como espacios CAT(0) completos .
Un espacio de Hadamard se define como un espacio métrico completo no vacío [1] tal que, dados algunos puntos , existe un punto tal que para cada punto
El punto es entonces el punto medio de y
En un espacio de Hilbert, la desigualdad anterior es igualdad (con ) y, en general, se dice que un espacio de Hadamard es plano si la desigualdad anterior es igualdad. Un espacio plano de Hadamard es isomorfo a un subconjunto convexo cerrado de un espacio de Hilbert. En particular, un espacio normado es un espacio de Hadamard si y sólo si es un espacio de Hilbert.
La geometría de los espacios de Hadamard se asemeja a la de los espacios de Hilbert, lo que los convierte en un escenario natural para el estudio de los teoremas de rigidez . En un espacio Hadamard, dos puntos cualesquiera pueden estar unidos por una geodésica única entre ellos; en particular, es contraíble . En general, si es un subconjunto acotado de un espacio métrico, entonces el centro de la bola cerrada de radio mínimo que lo contiene se llama circuncentro de [2] Cada subconjunto acotado de un espacio de Hadamard está contenido en la bola cerrada más pequeña (que es lo mismo que el cierre de su casco convexo). Si el grupo de isometrías de un espacio de Hadamard queda invariante entonces fija el circuncentro de ( teorema del punto fijo de Bruhat-Tits ).
El resultado básico para una variedad con curvatura no positiva es el teorema de Cartan-Hadamard . Lo análogo es válido para un espacio de Hadamard: un espacio métrico completo y conectado que es localmente isométrico a un espacio de Hadamard tiene un espacio de Hadamard como cobertura universal . Su variante se aplica a orbifolds con curvatura no positiva . (cf. Lurie.)
Ejemplos de espacios de Hadamard son los espacios de Hilbert , el disco de Poincaré , árboles reales completos (por ejemplo, el edificio Bruhat-Tits completo ), ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} -espacio con y y variedades de Hadamard , es decir , variedades Riemannianas completas simplemente conectadas de curvatura seccional no positiva . Ejemplos importantes de variedades de Hadamard son espacios simétricos simplemente conectados y curvados no positivamente .
Las aplicaciones de los espacios de Hadamard no se limitan a la geometría. En 1998, Dmitri Burago y Serge Ferleger [3] utilizaron la geometría CAT(0) para resolver un problema de billar dinámico : en un gas de bolas duras, ¿existe un límite uniforme en el número de colisiones? La solución comienza por construir un espacio de configuración para el sistema dinámico , obtenido uniendo copias de la mesa de billar correspondiente, que resulta ser un espacio de Hadamard.
