colector Hadamard

En matemáticas , una variedad de Hadamard , que lleva el nombre de Jacques Hadamard , más a menudo llamada variedad de Cartan-Hadamard , en honor a Élie Cartan , es una variedad de Riemann que está completa y simplemente conectada y tiene en todas partes una curvatura seccional no positiva . ^{[1] [2]} Según el teorema de Cartan-Hadamard, todas las variedades de Cartan-Hadamard son difeomorfas al espacio euclidiano. Además, del teorema de Hopf-Rinow se deduce que cada par de puntos en una variedad de Cartan-Hadamard puede estar conectado por un segmento geodésico único. . Así, las variedades de Cartan-Hadamard son algunos de los parientes más cercanos de ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Ejemplos

El espacio euclidiano con su métrica habitual es una variedad de Cartan-Hadamard con curvatura seccional constante igual a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 0.}$

El espacio hiperbólico de dimensión estándar es una variedad de Cartan-Hadamard con curvatura seccional constante igual a ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle -1.}$

Propiedades

En las variedades de Cartan-Hadamard, el mapa es un difeomorfismo para todos ${\displaystyle \exp _{p}:\operatorname {T} M_{p}\to M}$ ${\displaystyle p\in M.}$

Ver también

• Conjetura de Cartan-Hadamard
• Teorema de Cartan-Hadamard  : sobre la estructura de variedades riemannianas completas de curvatura seccional no positiva
• Espacio Hadamard  : espacio métrico geodésicamente completo de curvatura no positivaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

1. Li, Pedro (2012). Análisis Geométrico . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 381. doi : 10.1017/CBO9781139105798. ISBN 9781107020641.
2. Lang, Serge (1989). Fundamentos de Geometría Diferencial, Volumen 160 . Saltador. págs. 252-253. ISBN 9780387985930.