En geometría , un espacio de Hadamard , llamado así por Jacques Hadamard , es una generalización no lineal de un espacio de Hilbert . En la literatura también se definen de forma equivalente como espacios CAT(0) completos .
Un espacio de Hadamard se define como un espacio métrico completo no vacío [1] tal que, dados cualesquiera puntos y existe un punto tal que para cada punto
El punto es entonces el punto medio de y
En un espacio de Hilbert, la desigualdad anterior es igualdad (con ), y en general se dice que un espacio de Hadamard es plano si la desigualdad anterior es igualdad. Un espacio de Hadamard plano es isomorfo a un subconjunto convexo cerrado de un espacio de Hilbert. En particular, un espacio normado es un espacio de Hadamard si y solo si es un espacio de Hilbert.
La geometría de los espacios de Hadamard se asemeja a la de los espacios de Hilbert, lo que la convierte en un entorno natural para el estudio de los teoremas de rigidez . En un espacio de Hadamard, dos puntos cualesquiera pueden unirse mediante una geodésica única entre ellos; en particular, es contráctil . De manera bastante general, si es un subconjunto acotado de un espacio métrico, entonces el centro de la bola cerrada del radio mínimo que lo contiene se llama circuncentro de [2] Todo subconjunto acotado de un espacio de Hadamard está contenido en la bola cerrada más pequeña (que es lo mismo que el cierre de su envoltura convexa). Si es el grupo de isometrías de un espacio de Hadamard que deja invariante entonces fija el circuncentro de ( teorema del punto fijo de Bruhat-Tits ).
El resultado básico para una variedad de curvatura no positiva es el teorema de Cartan-Hadamard . El análogo es válido para un espacio de Hadamard: un espacio métrico completo y conexo que es localmente isométrico a un espacio de Hadamard tiene un espacio de Hadamard como su recubrimiento universal . Su variante se aplica para orbifolds de curvatura no positiva . (cf. Lurie.)
Ejemplos de espacios de Hadamard son los espacios de Hilbert , el disco de Poincaré , los árboles reales completos (por ejemplo, el edificio completo de Bruhat–Tits ), el ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} -espacio con y y variedades de Hadamard , es decir, variedades de Riemann completas simplemente conexas de curvatura seccional no positiva . Ejemplos importantes de variedades de Hadamard son los espacios simétricos de curvatura no positiva simplemente conexos .
Las aplicaciones de los espacios de Hadamard no se limitan a la geometría. En 1998, Dmitri Burago y Serge Ferleger [3] utilizaron la geometría CAT(0) para resolver un problema en el billar dinámico : en un gas de bolas duras, ¿existe un límite uniforme en el número de colisiones? La solución comienza construyendo un espacio de configuración para el sistema dinámico , obtenido mediante la unión de copias de las mesas de billar correspondientes, que resulta ser un espacio de Hadamard.
