Triángulo hiperbólico

Triángulo en geometría hiperbólica

Un triángulo hiperbólico incrustado en una superficie en forma de silla de montar.

En geometría hiperbólica , un triángulo hiperbólico es un triángulo en el plano hiperbólico . Consta de tres segmentos de recta llamados lados o aristas y tres puntos llamados ángulos o vértices .

Al igual que en el caso euclidiano , tres puntos de un espacio hiperbólico de dimensión arbitraria siempre se encuentran en el mismo plano. Por tanto, los triángulos hiperbólicos planos también describen triángulos posibles en cualquier dimensión superior de espacios hiperbólicos.

Un mosaico triangular de orden 7 tiene triángulos equiláteros con ángulos internos de 2π/7 radianes .

Definición

Un triángulo hiperbólico consta de tres puntos no colineales y los tres segmentos entre ellos. ^[1]

Propiedades

Los triángulos hiperbólicos tienen algunas propiedades análogas a las de los triángulos en geometría euclidiana :

• Cada triángulo hiperbólico tiene un círculo inscrito, pero no todos los triángulos hiperbólicos tienen un círculo circunscrito (ver más abajo). Sus vértices pueden estar en un horociclo o hiperciclo .

Los triángulos hiperbólicos tienen algunas propiedades análogas a las de los triángulos en geometría esférica o elíptica :

• Dos triángulos con la misma suma de ángulos tienen igual área.
• Hay un límite superior para el área de los triángulos.
• Hay un límite superior para el radio del círculo inscrito .
• Dos triángulos son congruentes si y sólo si se corresponden bajo un producto finito de reflexiones lineales.
• Dos triángulos con ángulos correspondientes iguales son congruentes (es decir, todos los triángulos semejantes son congruentes).

Los triángulos hiperbólicos tienen algunas propiedades que son opuestas a las propiedades de los triángulos en geometría esférica o elíptica:

• La suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180°.
• El área de un triángulo es proporcional al déficit de la suma de sus ángulos a partir de 180°.

Los triángulos hiperbólicos también tienen algunas propiedades que no se encuentran en otras geometrías:

• Algunos triángulos hiperbólicos no tienen un círculo circunscrito , este es el caso cuando al menos uno de sus vértices es un punto ideal o cuando todos sus vértices se encuentran en un horociclo o en un hiperciclo unilateral .
• Los triángulos hiperbólicos son delgados , hay una distancia máxima δ desde un punto de una arista hasta una de las otras dos aristas. Este principio dio origen al espacio δ-hiperbólico .

Triángulos con vértices ideales

Tres triángulos ideales en el modelo del disco de Poincaré

La definición de triángulo se puede generalizar, permitiendo vértices en el límite ideal del plano manteniendo los lados dentro del plano. Si un par de lados son paralelos limitantes (es decir, la distancia entre ellos tiende a cero cuando tienden al punto ideal , pero no se cruzan), entonces terminan en un vértice ideal representado como un punto omega .

También se puede decir que tal par de lados forma un ángulo de cero .

Un triángulo con un ángulo cero es imposible en la geometría euclidiana para lados rectos que se encuentran en líneas distintas. Sin embargo, tales ángulos cero son posibles con círculos tangentes .

Un triángulo con un vértice ideal se llama triángulo omega .

Los triángulos especiales con vértices ideales son:

Triángulo de paralelismo

Un triángulo donde un vértice es un punto ideal, un ángulo es recto: el tercer ángulo es el ángulo de paralelismo de la longitud del lado entre el recto y el tercer ángulo.

triángulo de Schweikart

El triángulo donde dos vértices son puntos ideales y el ángulo restante es rectángulo , uno de los primeros triángulos hiperbólicos (1818) descrito por Ferdinand Karl Schweikart .

triangulo ideal

El triángulo donde todos los vértices son puntos ideales, un triángulo ideal es el triángulo más grande posible en geometría hiperbólica debido a la suma cero de los ángulos.

Curvatura gaussiana estandarizada

Las relaciones entre los ángulos y lados son análogas a las de la trigonometría esférica ; La escala de longitud tanto para la geometría esférica como para la geometría hiperbólica se puede definir, por ejemplo, como la longitud de un lado de un triángulo equilátero con ángulos fijos.

La escala de longitud es más conveniente si las longitudes se miden en términos de longitud absoluta (una unidad especial de longitud análoga a las relaciones entre distancias en geometría esférica ). Esta elección de esta escala de longitud simplifica las fórmulas. ^[2]

En términos del modelo de semiplano de Poincaré, la longitud absoluta corresponde a la métrica infinitesimal y en el modelo de disco de Poincaré a . ${\displaystyle ds={\frac {|dz|}{\operatorname {Im} (z)}}}$ ${\displaystyle ds={\frac {2|dz|}{1-|z|^{2}}}}$

En términos de la curvatura gaussiana K (constante y negativa) de un plano hiperbólico, una unidad de longitud absoluta corresponde a una longitud de

${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$.

En un triángulo hiperbólico la suma de los ángulos A , B , C (respectivamente opuestos al lado con la letra correspondiente) es estrictamente menor que un ángulo recto . La diferencia entre la medida de un ángulo llano y la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo se llama defecto del triángulo. El área de un triángulo hiperbólico es igual a su defecto multiplicado por el cuadrado de  R :

${\displaystyle (\pi -A-B-C)R^{2}{}{}\!}$.

Este teorema, demostrado por primera vez por Johann Heinrich Lambert , ^[3] está relacionado con el teorema de Girard en geometría esférica.

Trigonometría

En todas las fórmulas que se indican a continuación, los lados a , b y c deben medirse en longitud absoluta , una unidad para que la curvatura gaussiana K del plano sea −1. En otras palabras, se supone que la cantidad R en el párrafo anterior es igual a 1.

Las fórmulas trigonométricas para triángulos hiperbólicos dependen de las funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh.

Trigonometría de triángulos rectángulos.

Si C es un ángulo recto entonces:

• El seno del ángulo A es el seno hiperbólico del lado opuesto al ángulo dividido por el seno hiperbólico de la hipotenusa .

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {sinh(opposite)}}{\textrm {sinh(hypotenuse)}}}={\frac {\sinh a}{\,\sinh c\,}}.\,}$

• El coseno del ángulo A es la tangente hiperbólica del cateto adyacente dividida por la tangente hiperbólica de la hipotenusa.

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {tanh(adjacent)}}{\textrm {tanh(hypotenuse)}}}={\frac {\tanh b}{\,\tanh c\,}}.\,}$

• La tangente del ángulo A es la tangente hiperbólica del cateto opuesto dividida por el seno hiperbólico del cateto adyacente.

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {tanh(opposite)}}{\textrm {sinh(adjacent)}}}={\frac {\tanh a}{\,\sinh b\,}}}$.

• El coseno hiperbólico del cateto adyacente al ángulo A es el coseno del ángulo B dividido por el seno del ángulo A.

${\displaystyle {\textrm {cosh(adjacent)}}={\frac {\cos B}{\sin A}}}$.

• El coseno hiperbólico de la hipotenusa es el producto de los cosenos hiperbólicos de los catetos.

${\displaystyle {\textrm {cosh(hypotenuse)}}={\textrm {cosh(adjacent)}}{\textrm {cosh(opposite)}}}$.

• El coseno hiperbólico de la hipotenusa es también el producto de los cosenos de los ángulos dividido por el producto de sus senos . ^[4]

${\displaystyle {\textrm {cosh(hypotenuse)}}={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}=\cot A\cot B}$

Relaciones entre ángulos

También tenemos las siguientes ecuaciones: ^[5]

${\displaystyle \cos A=\cosh a\sin B}$

${\displaystyle \sin A={\frac {\cos B}{\cosh b}}}$

${\displaystyle \tan A={\frac {\cot B}{\cosh c}}}$

${\displaystyle \cos B=\cosh b\sin A}$

${\displaystyle \cosh c=\cot A\cot B}$

Área

El área de un triángulo rectángulo es:

${\displaystyle {\textrm {Area}}={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B}$

El área de cualquier otro triángulo es:

${\displaystyle {\textrm {Area}}={\pi }-\angle A-\angle B-\angle C}$

también

${\displaystyle {\textrm {Area}}=2\arctan(\tanh({\frac {a}{2}})\tanh({\frac {b}{2}}))}$^{[ cita necesaria ] [6]}

Ángulo de paralelismo

El ejemplo de un triángulo omega con un ángulo recto proporciona la configuración para examinar el ángulo de paralelismo en el triángulo.

En este caso ángulo B = 0, a = c = y , resultando en . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\textrm {tanh}}(\infty )=1}$ ${\displaystyle \cos A={\textrm {tanh(adjacent)}}}$

Triángulo equilátero

Las fórmulas de trigonometría de los triángulos rectángulos también dan las relaciones entre los lados s y los ángulos A de un triángulo equilátero (un triángulo donde todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos son iguales).

Las relaciones son:

${\displaystyle \cos A={\frac {{\textrm {tanh}}({\frac {1}{2}}s)}{{\textrm {tanh}}(s)}}}$

${\displaystyle \cosh({\frac {1}{2}}s)={\frac {\cos({\frac {1}{2}}A)}{\sin(A)}}={\frac {1}{2\sin({\frac {1}{2}}A)}}}$

trigonometria general

Sea C un ángulo recto o no, se cumplen las siguientes relaciones: La ley hiperbólica de los cosenos es la siguiente:

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C,}$

Su teorema dual es

${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c,}$

También existe una ley de los senos :

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}},}$

y una fórmula de cuatro partes:

${\displaystyle \cos C\cosh a=\sinh a\coth b-\sin C\cot B}$

que se deriva de la misma manera que la fórmula análoga en trigonometría esférica .

Ver también

• Par de pantalones (matemáticas)
• grupo triangulo

Para trigonometría hiperbólica:

• Ángulo de paralelismo
• Ley hiperbólica de los cosenos
• Ley hiperbólica de los senos
• cuadrilátero de lamberto
• cuadrilátero de Saccheri

Referencias

1. Stothers, Wilson (2000), Geometría hiperbólica, Universidad de Glasgow, sitio web de instrucción interactiva
2. Needham, Tristán (1998). Análisis visual complejo. Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 270.ISBN​ 9780198534464.
3. Ratcliffe, John (2006). Fundamentos de variedades hiperbólicas. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 149. Saltador. pag. 99.ISBN​ 9780387331973. Que el área de un triángulo hiperbólico es proporcional a su defecto angular apareció por primera vez en la monografía de Lambert Theorie der Parallellinien , que se publicó póstumamente en 1786.
4. Martín, George E. (1998). Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano (Corregido 4. ed. impresa). Nueva York, Nueva York: Springer. pag. 433.ISBN​ 0-387-90694-0.
5. Smogorzhevski, AS Geometría lobachevskiana . Moscú 1982: Editorial Mir. pag. 63.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
6. "Área de un triángulo hiperbólico rectángulo en función de las longitudes de los lados". Matemáticas de intercambio de pila . Consultado el 11 de octubre de 2015 .

Otras lecturas

• Svetlana Katok (1992) Grupos fucsianos , University of Chicago Press ISBN 0-226-42583-5