En geometría , el defecto (o déficit o deficiencia ) ( angular ) significa la imposibilidad de que algunos ángulos sumen la cantidad esperada de 360° o 180°, cuando dichos ángulos en el plano euclidiano sí lo harían. La noción opuesta es el exceso .
Clásicamente el defecto surge de dos formas:
Y el exceso también surge de dos maneras:
En el plano euclidiano, los ángulos que rodean un punto suman 360°, mientras que los ángulos interiores de un triángulo suman 180° (equivalentemente, los ángulos exteriores suman 360°). Sin embargo, en un poliedro convexo los ángulos en un vértice suman menos de 360°, en un triángulo esférico los ángulos interiores siempre suman más de 180° (los ángulos exteriores suman menos de 360°) y los ángulos en un triángulo hiperbólico siempre suman menos de 180° (los ángulos exteriores suman más de 360°).
En términos modernos, el defecto en un vértice es una versión discreta de la curvatura de la superficie poliédrica concentrada en ese punto , y el teorema de Gauss-Bonnet da la curvatura total como veces la característica de Euler , por lo que la suma de los defectos es . El defecto negativo indica que el vértice se asemeja a un punto de silla (curvatura negativa), mientras que el defecto positivo indica que el vértice se asemeja a un máximo o mínimo local (curvatura positiva).
En el caso de un poliedro , el defecto en un vértice es igual a 2π menos la suma de todos los ángulos del vértice (se incluyen todas las caras del vértice). Si un poliedro es convexo, el defecto de cada vértice es siempre positivo. Si la suma de los ángulos supera una vuelta completa , como ocurre en algunos vértices de muchos poliedros no convexos, el defecto es negativo.
El concepto de defecto se extiende a dimensiones superiores como la cantidad en la que la suma de los ángulos diedros de las celdas en un pico no alcanza un círculo completo.
El defecto de cualquiera de los vértices de un dodecaedro regular (en el que tres pentágonos regulares se unen en cada vértice) es de 36°, o π/5 radianes, o 1/10 de un círculo. Cada uno de los ángulos mide 108°; tres de ellos se unen en cada vértice, por lo que el defecto es de 360° − (108° + 108° + 108°) = 36°.
El mismo procedimiento se puede seguir para los demás sólidos platónicos :
El teorema de Descartes sobre el "defecto total" de un poliedro establece que si el poliedro es homeomorfo a una esfera (es decir, topológicamente equivalente a una esfera, de modo que puede deformarse en una esfera al estirarse sin desgarrarse), el "defecto total", es decir, la suma de los defectos de todos los vértices, es dos círculos completos (o 720° o 4 π radianes). El poliedro no necesita ser convexo. [1]
Una generalización dice que el número de círculos en el defecto total es igual a la característica de Euler del poliedro. Este es un caso especial del teorema de Gauss-Bonnet que relaciona la integral de la curvatura gaussiana con la característica de Euler. Aquí la curvatura gaussiana se concentra en los vértices: en las caras y aristas la curvatura es cero y la integral de la curvatura en un vértice es igual al defecto allí (por definición).
Esto se puede utilizar para calcular el número V de vértices de un poliedro sumando los ángulos de todas las caras y sumando el defecto total. Este total tendrá un círculo completo por cada vértice del poliedro. Se debe tener cuidado de utilizar la característica de Euler correcta para el poliedro.
Un recíproco de este teorema lo da el teorema de unicidad de Alexandrov , según el cual un espacio métrico que es localmente euclidiano (por lo tanto, de curvatura cero) excepto por un número finito de puntos de defecto angular positivo, que suman 4 π , puede realizarse de manera única como la superficie de un poliedro convexo.
Es tentador pensar que todo poliedro no convexo debe tener algunos vértices cuyo defecto sea negativo, pero esto no tiene por qué ser así si la característica de Euler es positiva (una esfera topológica). Dos contraejemplos de esto son el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado , que tienen doce puntos convexos, cada uno con defectos positivos.
Un contraejemplo que no se corta a sí mismo lo proporciona un cubo en el que una de sus caras se sustituye por una pirámide cuadrada : esta pirámide cuadrada alargada es convexa y los defectos en cada vértice son positivos. Ahora, consideremos el mismo cubo en el que la pirámide cuadrada se introduce en el cubo: es cóncava, pero los defectos siguen siendo los mismos y, por lo tanto, todos son positivos.
