El teorema de unicidad de Alexandrov es un teorema de rigidez en matemáticas que describe poliedros convexos tridimensionales en términos de las distancias entre puntos en sus superficies. Implica que los poliedros convexos con formas distintas entre sí también tienen espacios métricos distintos de distancias superficiales, y caracteriza los espacios métricos que provienen de las distancias superficiales en los poliedros. Lleva el nombre del matemático soviético Aleksandr Danilovich Aleksandrov , quien lo publicó en la década de 1940. [1] [2] [3]
La superficie de cualquier poliedro convexo en el espacio euclidiano forma un espacio métrico , en el que la distancia entre dos puntos se mide por la longitud del camino más corto de un punto al otro a lo largo de la superficie. Dentro de un único camino más corto, las distancias entre pares de puntos son iguales a las distancias entre puntos correspondientes de un segmento de línea de la misma longitud; un camino con esta propiedad se conoce como geodésica . Esta propiedad de las superficies poliédricas, de que cada par de puntos está conectado por una geodésica, no es cierta para muchos otros espacios métricos, y cuando es cierta el espacio se llama espacio geodésico. El espacio geodésico formado a partir de la superficie de un poliedro se llama su desarrollo . [3]
El poliedro puede considerarse como un pliegue a partir de una hoja de papel (una red para el poliedro) y hereda la misma geometría que el papel: para cada punto p dentro de una cara del poliedro, un vecindario abierto suficientemente pequeño de p tendrá las mismas distancias que un subconjunto del plano euclidiano . Lo mismo es cierto incluso para los puntos en los bordes del poliedro: pueden modelarse localmente como un plano euclidiano plegado a lo largo de una línea e incrustado en el espacio tridimensional, pero el pliegue no cambia la estructura de los caminos más cortos a lo largo de la superficie. Sin embargo, los vértices del poliedro tienen una estructura de distancia diferente: la geometría local de un vértice de poliedro es la misma que la geometría local en el vértice de un cono . Cualquier cono puede formarse a partir de una hoja de papel plana con una cuña removida de ella pegando juntos los bordes cortados donde se quitó la cuña. El ángulo de la cuña que se eliminó se llama defecto angular del vértice; es un número positivo menor que 2 π . El defecto de un vértice de poliedro se puede medir restando los ángulos de las caras en ese vértice de 2 π . Por ejemplo, en un tetraedro regular, cada ángulo de las caras es π /3, y hay tres de ellos en cada vértice, por lo que restarlos de 2 π deja un defecto de π en cada uno de los cuatro vértices. De manera similar, un cubo tiene un defecto de π /2 en cada uno de sus ocho vértices. El teorema de Descartes sobre el defecto angular total (una forma del teorema de Gauss-Bonnet ) establece que la suma de los defectos angulares de todos los vértices es siempre exactamente 4 π . En resumen, el desarrollo de un poliedro convexo es geodésico, homeomorfo (topológicamente equivalente) a una esfera y localmente euclidiano excepto por un número finito de puntos del cono cuyo defecto angular suma 4 π . [3]
El teorema de Alexandrov ofrece una respuesta recíproca a esta descripción. Afirma que si un espacio métrico es geodésico, homeomorfo a una esfera y localmente euclidiano, salvo por un número finito de puntos de cono con defecto angular positivo (que necesariamente suman 4 π ), entonces existe un poliedro convexo cuyo desarrollo es el espacio dado. Además, este poliedro se define de forma única a partir de la métrica: dos poliedros convexos cualesquiera con la misma métrica de superficie deben ser congruentes entre sí como conjuntos tridimensionales. [3]
El poliedro que representa el espacio métrico dado puede estar degenerado : puede formar un polígono convexo bidimensional doblemente cubierto (un diedro ) en lugar de un poliedro completamente tridimensional. En este caso, su superficie métrica consiste en dos copias del polígono (sus dos lados) pegadas entre sí a lo largo de los bordes correspondientes. [3] [6]
Aunque el teorema de Alexandrov establece que existe un único poliedro convexo cuya superficie tiene una métrica dada, también es posible que existan poliedros no convexos con la misma métrica. Un ejemplo lo da el icosaedro regular : si se eliminan cinco de sus triángulos y se reemplazan por cinco triángulos congruentes que forman una sangría en el poliedro, la métrica de la superficie resultante permanece inalterada. [7] Este ejemplo utiliza los mismos pliegues para el poliedro convexo y no convexo, pero ese no es siempre el caso. Por ejemplo, la superficie de un octaedro regular se puede volver a plegar a lo largo de diferentes pliegues en un poliedro no convexo con 24 caras de triángulos equiláteros, el Kleetope obtenido al pegar pirámides cuadradas sobre los cuadrados de un cubo. Seis triángulos se encuentran en cada vértice adicional introducido por este replegamiento, por lo que tienen un defecto angular cero y permanecen localmente euclidianos. En la ilustración de un octaedro plegado a partir de cuatro hexágonos, estos 24 triángulos se obtienen subdividiendo cada hexágono en seis triángulos. [5]
El desarrollo de cualquier poliedro puede describirse concretamente mediante una colección de polígonos bidimensionales junto con instrucciones para pegarlos a lo largo de sus bordes para formar un espacio métrico, y las condiciones del teorema de Alexandrov para espacios descritos de esta manera se verifican fácilmente. Sin embargo, los bordes donde se pegan dos polígonos podrían volverse planos y quedar en el interior de las caras del poliedro resultante, en lugar de convertirse en bordes del poliedro. (Para un ejemplo de este fenómeno, vea la ilustración de cuatro hexágonos pegados para formar un octaedro). Por lo tanto, incluso cuando el desarrollo se describe de esta manera, puede que no esté claro qué forma tiene el poliedro resultante, qué formas tienen sus caras o incluso cuántas caras tiene. La prueba original de Alexandrov no conduce a un algoritmo para construir el poliedro (por ejemplo, dando coordenadas para sus vértices) que realice el espacio métrico dado. En 2008, Bobenko e Izmestiev proporcionaron un algoritmo de este tipo. [8] Su algoritmo puede aproximar las coordenadas con una precisión arbitraria, en tiempo pseudopolinomial . [9]
Uno de los primeros teoremas de existencia y unicidad para poliedros convexos es el teorema de Cauchy , que establece que un poliedro convexo está determinado únicamente por la forma y la conectividad de sus caras. El teorema de Alexandrov refuerza esto, mostrando que incluso si se permite que las caras se doblen o plieguen, sin estirarse ni encogerse, entonces su conectividad aún determina la forma del poliedro. A su vez, la prueba de la existencia de Alexandrov parte de su teorema utiliza un fortalecimiento del teorema de Cauchy por Max Dehn a la rigidez infinitesimal . [3]
Un resultado análogo al de Alexandrov se aplica a superficies convexas lisas: una variedad riemanniana bidimensional cuya curvatura gaussiana es positiva en todas partes y totaliza 4 π puede representarse de forma única como la superficie de un cuerpo convexo liso en tres dimensiones. La unicidad de esta representación es resultado de Stephan Cohn-Vossen de 1927, con algunas condiciones de regularidad en la superficie que se eliminaron en investigaciones posteriores. Su existencia fue demostrada por Alexandrov, utilizando un argumento que involucraba límites de métricas poliédricas. [10] Aleksei Pogorelov generalizó ambos resultados, caracterizando los desarrollos de cuerpos convexos arbitrarios en tres dimensiones. [3]
Otro resultado de Pogorelov sobre los espacios métricos geodésicos derivados de poliedros convexos es una versión del teorema de las tres geodésicas : todo poliedro convexo tiene al menos tres cuasigeodésicas cerradas simples. Éstas son curvas que son localmente rectas excepto cuando pasan por un vértice, en cuyo caso se requiere que tengan ángulos menores que π en ambos lados de ellas. [11]
Los desarrollos de poliedros hiperbólicos ideales pueden caracterizarse de manera similar a los poliedros convexos euclidianos: cada variedad bidimensional con geometría hiperbólica uniforme y área finita, combinatoriamente equivalente a una esfera finitamente perforada, puede realizarse como la superficie de un poliedro ideal. [12]