Aleksei Vasilyevich Pogorelov ( en ruso : Алексе́й Васи́льевич Погоре́лов ; en ucraniano : Олексі́й Васи́льович Погорє́лов ; 3 de marzo de 1919 - 17 de diciembre de 2002) fue un matemático soviético . Especialista en el campo de la geometría convexa [1] [2] [3] y diferencial , ecuaciones en derivadas parciales geométricas y teoría de capas elásticas, autor de novedosos libros de texto escolares sobre geometría y libros de texto universitarios sobre geometría analítica , sobre geometría diferencial y sobre los fundamentos de la geometría.
El teorema de unicidad de Pogorelov y el teorema de Alexandrov-Pogorelov llevan su nombre.
Nació en Korocha en una familia de campesinos. En 1931, debido a la colectivización , los padres de Pogorelov huyeron del pueblo a Járkov , donde su padre se convirtió en trabajador en la construcción de la planta de tractores de Járkov. En 1935, Pogorelov ganó el primer premio en la Olimpiada de Matemáticas de la Universidad Estatal de Járkov . Después de graduarse de la escuela secundaria en 1937, ingresó en el departamento de matemáticas de la Universidad Estatal de Járkov. Fue el mejor estudiante del departamento.
En 1941, tras la participación de la Unión Soviética en la Segunda Guerra Mundial , Pogorelov fue enviado a estudiar durante 11 meses a la Academia de Ingeniería de la Fuerza Aérea Zhukovsky de Nueva York. Durante sus estudios, los estudiantes fueron enviados periódicamente durante varios meses al frente como técnicos para el servicio de aviación. Después de la victoria del Ejército Rojo sobre los nazis cerca de Moscú, el entrenamiento continuó durante un semestre completo. Después de graduarse en la academia, trabajó en el Instituto Aerohidrodinámico Central Zhukovsky de Nueva York (TsAGI) como ingeniero de diseño.
El deseo de completar sus estudios universitarios y especializarse profesionalmente en geometría llevó a Pogorelov a la Universidad Estatal de Moscú. Por recomendación de IG Petrovsky (Decano del Departamento de Mecánica y Matemáticas) y del conocido geómetra VF Kagan, Pogorelov conoció a A. D. Aleksandrov , el fundador de la teoría de superficies convexas no lisas. Se plantearon muchas cuestiones nuevas sobre esta teoría. Aleksandrov propuso a Pogorelov dar respuesta a una de ellas. En un año el problema fue resuelto y Pogorelov fue matriculado en la escuela de posgrado del Departamento de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú. Nikolai Yefimov se convirtió en su asesor científico sobre los temas de la teoría de Aleksandrov. Después de defender su tesis doctoral en 1947, fue desmovilizado y se trasladó a Járkov, donde comenzó a trabajar en el Instituto de Matemáticas de la Universidad Estatal de Járkov y en el Departamento de Geometría de la universidad. En 1948 defendió su tesis doctoral. En 1951 fue nombrado miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de Ucrania y en 1960 de la Academia de Ciencias de la URSS (División de Ciencias Físicas y Matemáticas). En 1961 fue nombrado académico de la Academia de Ciencias de Ucrania y en 1976 de la Academia de Ciencias de la URSS (División de Matemáticas). De 1950 a 1960 fue jefe del Departamento de Geometría de la Universidad Estatal de Járkov y de 1960 a 2000 fue jefe del Departamento de Geometría del Instituto Verkin de Física e Ingeniería de Bajas Temperaturas de la Academia Nacional de Ciencias de Ucrania.
Desde el año 2000 vivió en Moscú y trabajó en el Instituto de Matemáticas Steklov .
Murió el 17 de diciembre de 2002 y fue enterrado en Moscú en el cementerio Nikolo-Arkhangelsk.
A principios del siglo XX se desarrollaron métodos para resolver problemas locales relacionados con superficies regulares. En los años treinta se desarrollaron métodos para resolver problemas de geometría "a lo grande". Estos métodos estaban relacionados principalmente con la teoría de ecuaciones diferenciales parciales. Los matemáticos no podían hacer nada cuando las superficies no eran lisas (por ejemplo, con puntos cónicos, puntos acanalados, etc.) y cuando la geometría intrínseca no estaba dada por una forma cuadrática definida positiva lisa, sino simplemente por un espacio métrico de una forma bastante general. Un gran avance en el estudio de las métricas no lisas y las superficies no lisas lo realizó un destacado geómetra A. D. Aleksandrov. Desarrolló la teoría de los espacios métricos de curvatura no negativa, los llamados espacios métricos de Aleksandrov. Como caso especial, la teoría cubría la geometría intrínseca de las superficies convexas generales, es decir, los límites de los cuerpos convexos. Aleksandrov estudió las relaciones entre las geometrías intrínsecas y extrínsecas de las superficies convexas generales. Demostró que todas las métricas de curvatura no negativa dadas en una esfera bidimensional (incluidas las métricas no suaves, las llamadas métricas internas) pueden sumergirse isométricamente en el espacio euclidiano tridimensional en forma de una superficie convexa cerrada, pero no se sabían las respuestas a las siguientes preguntas fundamentales:
Después de resolver estos problemas, la teoría creada por Aleksandrov habría recibido “plena ciudadanía” en matemáticas y podría aplicarse también en el caso regular clásico. Cada una de estas 3 preguntas fue respondida positivamente por Pogorelov. Usando métodos geométricos sintéticos, desarrolló métodos geométricos para obtener estimaciones a priori para soluciones de ecuaciones de Monge-Ampère . Por un lado, usó estas ecuaciones para resolver problemas geométricos; por otro lado, basándose en razones geométricas, construyó una solución generalizada de una ecuación de Monge-Ampère y luego demostró su regularidad para un lado derecho regular de la ecuación. De hecho, en estos trabajos pioneros Pogorelov sentó las bases del campo del análisis geométrico . Demostró los siguientes resultados fundamentales:
Para los dominios de las superficies convexas, las afirmaciones 1) y 2) son falsas. Las propiedades locales y globales de las superficies son significativamente diferentes. Al demostrar la afirmación 1), Pogorelov completó la solución del problema que había estado abierto durante más de un siglo. El primer resultado en esta dirección lo obtuvo Cauchy para poliedros convexos cerrados en 1813.
Los teoremas demostrados por Pogorelov formaron la base de su teoría no lineal de láminas delgadas. Esta teoría se ocupa de aquellos estados elásticos de la lámina que difieren significativamente en comparación con la forma original. Bajo tales deformaciones, la superficie media de una lámina delgada sufre una flexión conservando la métrica. Esto hace posible, utilizando teoremas demostrados por Pogorelov para superficies convexas, investigar la pérdida de estabilidad y el estado elástico supercrítico de las láminas convexas bajo una deformación dada. Tales láminas son los elementos más comunes de los diseños modernos.
Los resultados 1) y 2) se generalizaron para superficies regulares en un espacio de Riemann. Además, se resolvió el problema de Weyl para el espacio de Riemann : se demostró que una métrica regular de curvatura gaussiana mayor que una constante c en una esfera bidimensional puede sumergirse isométricamente en un espacio de Riemann tridimensional completo de curvatura <c en forma de una superficie regular. Al estudiar los métodos desarrollados en la demostración de este resultado, el premio Abel M. Gromov introdujo el concepto de curvas pseudoholomorfas, que son la herramienta principal en la geometría simpléctica moderna .
Una hipersuperficie convexa cerrada está definida de forma única no solo por la métrica sino también por la curvatura gaussiana como función de las normales unitarias. Además, la hipersuperficie está determinada de forma única hasta un transporte paralelo. Esto fue demostrado por G. Minkowski. Pero, ¿es la hipersuperficie regular bajo la condición de que la curvatura gaussiana K(n) sea una función regular de una normal unitaria? Pogorelov demostró que si la función positiva K(n) pertenece a la clase С k , k≥3 , entonces la función de soporte será de clase de regularidad С k+1,v , 0<v<1 .
La parte más difícil de la demostración del teorema fue obtener estimaciones a priori de las derivadas de la función de soporte de una hipersuperficie hasta el tercer orden inclusive. El método de estimaciones a priori de Pogorelov fue utilizado por S.-T. Yau para obtener estimaciones a priori de soluciones de ecuaciones complejas de Monge-Ampere. Este fue el paso principal en la demostración de la existencia de variedades de Calabi-Yau, que desempeñan un papel importante en la física teórica. Una ecuación de Monge-Ampère tiene la forma
Las estimaciones a priori en el problema de Minkowski son a priori para la solución de la ecuación de Monge-Ampère con la función
En aquel momento no existía ningún método para estudiar esta ecuación completamente no lineal. AV Pogorelov creó la teoría de la ecuación de Monge-Ampère utilizando métodos geométricos. Primero, partiendo de poliedros, demostró la existencia de soluciones generalizadas en condiciones naturales en el lado derecho. Después, encontró las estimaciones a priori para las derivadas hasta el tercer orden inclusive para las soluciones regulares. Utilizando las estimaciones a priori, demostró la regularidad de las soluciones estrictamente convexas, la existencia de soluciones del problema de Dirichlet y su regularidad. La ecuación de Monge-Ampère es un componente esencial del problema de transporte de Monge-Kantorovich; se utiliza en geometrías conformes, afines, de Kähler, en meteorología y en matemáticas financieras. Pogorelov dijo una vez sobre la ecuación de Monge-Ampère: esta es una gran ecuación con la que tuve el honor de trabajar.
Uno de los trabajos más conceptuales de Pogorelov se refiere al ciclo de trabajos sobre superficies lisas de curvatura externa acotada . AD Aleksandrov creó una teoría de variedades métricas generales que generalizan de forma natural las variedades riemannianas . En particular, introdujo la clase de variedades bidimensionales de curvatura acotada. Agotan la clase de todas las variedades bidimensionales metrizadas que admiten, en un entorno de cada punto, una aproximación uniforme por métricas riemannianas con curvatura integral absoluta (es decir, la integral del módulo de la curvatura gaussiana) acotada en agregado.
Naturalmente, surgió la cuestión de la clase de superficies en el espacio euclidiano tridimensional que tienen una métrica de este tipo, manteniendo las relaciones entre la métrica y la geometría extrínseca de la superficie. Para responder parcialmente a esta pregunta, Pogorelov introdujo la clase de superficies C 1 -lisas con el requisito de que el área de la imagen esférica esté acotada, teniendo en cuenta la multiplicidad de la cobertura en algún entorno de cada punto de la superficie. Tales superficies se denominan superficies de curvatura extrínseca acotada.
Para tales superficies también existe una conexión muy estrecha entre la geometría intrínseca de la superficie y su forma extrínseca: una superficie completa con una curvatura extrínseca acotada y una curvatura intrínseca no negativa (no igual a cero) es una superficie convexa cerrada o una superficie convexa ilimitada; una superficie completa con curvatura intrínseca cero y curvatura extrínseca acotada es un cilindro.
El primer trabajo de AV Pogorelov sobre superficies de curvatura extrínseca acotada se publicó en 1953. En 1954, J. Nash publicó el artículo sobre inmersiones С 1 -isométricas, que fue mejorado por N. Kuiper en 1955. De estos estudios se desprende que una métrica de Riemann definida en una variedad bidimensional, bajo supuestos muy generales, admite una realización en una superficie С 1 -lisa en un espacio euclidiano tridimensional. Además, esta realización se lleva a cabo tan libremente como una inmersión topológica en el espacio de la variedad en la que está dada la métrica. Por lo tanto, está claro que para las superficies С 1 , incluso con una buena métrica intrínseca, es imposible preservar las conexiones entre las curvaturas intrínsecas y extrínsecas. Incluso en el caso de que una superficie C 1 tenga una métrica regular de curvatura gaussiana positiva, esto no implica la convexidad local de la superficie. Esto pone de relieve la naturalidad de la clase de superficies de curvatura externa acotada introducida por Pogorelov.
Pogorelov resolvió el cuarto problema de Hilbert , planteado por D. Hilbert en el II Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. Encontró todas, hasta el isomorfismo, las realizaciones de los sistemas de axiomas de las geometrías clásicas (Euclides, Lobachevsky y elíptica) si se omiten los axiomas de congruencia que contienen el concepto de ángulo y se complementan estos sistemas con el axioma de "desigualdad del triángulo".
Pogorelov fue uno de los primeros que propuso (en 1970) una nueva idea en la construcción de un crioturbogenerador con devanado de campo superconductor y participó activamente en los cálculos técnicos y la creación de los correspondientes modelos industriales.
En 2015, una de las calles de Járkov recibió el nombre de Pogorelov.
En 2007, la Academia Nacional de Ciencias de Ucrania fundó el Premio Pogorelov por los logros en el campo de la geometría y la topología.
Uno de los asteroides lleva el nombre de Pogorelov: (19919) Pogorelov .
