Pirámide cuadrada alargada

Poliedro con cubo y pirámide cuadrada.

En geometría , la pirámide cuadrada alargada es un poliedro convexo construido a partir de un cubo uniendo una pirámide cuadrada equilátera en una de sus caras. Es un ejemplo del sólido Johnson . Es topológicamente (pero no geométricamente) autodual .

Construcción

La bipirámide cuadrada alargada se construye uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras a las caras de un cubo que están opuestas entre sí, un proceso conocido como alargamiento . Esta construcción implica la eliminación de esos dos cuadrados y su sustitución por esas pirámides, lo que da como resultado ocho triángulos equiláteros y cuatro cuadrados como caras. ^[1] . Un poliedro convexo en el que todas sus caras son regulares es un sólido de Johnson , y la bipirámide cuadrada alargada es una de ellas, denotada como , el decimoquinto sólido de Johnson. ^[2] ${\displaystyle J_{15}}$

Propiedades

Dado que esa es la longitud del borde de una pirámide cuadrada alargada. La altura de una pirámide cuadrada alargada se puede calcular sumando la altura de una pirámide cuadrada equilátera y un cubo. La altura de un cubo es la misma que la longitud de la arista dada , y la altura de una pirámide cuadrada equilátera es . Por tanto, la altura de una bipirámide cuadrada alargada es: ^[3] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (1/{\sqrt {2}})a}$

$${\displaystyle a+{\frac {1}{\sqrt {2}}}a=\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)a\approx 1.707a.}$$

^[4]

$${\displaystyle \left(5+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 6.732a^{2}.}$$

^[4]

$${\displaystyle \left(1+{\frac {\sqrt {2}}{6}}\right)a^{3}\approx 1.236a^{3}.}$$

Modelo 3D de una pirámide cuadrada alargada.

La pirámide cuadrada alargada tiene el mismo grupo de simetría tridimensional que la pirámide cuadrada equilátera, el grupo cíclico de orden ocho. Su ángulo diédrico se puede obtener sumando el ángulo de una pirámide cuadrada equilátera y un cubo: ^[5] ${\displaystyle C_{4v}}$

• El ángulo diédrico de una bipirámide cuadrada alargada entre dos triángulos adyacentes es el ángulo diédrico de un triángulo equilátero entre sus caras laterales, ${\displaystyle \arccos(-1/3)\approx 109.47^{\circ }}$
• El ángulo diédrico de una bipirámide cuadrada alargada entre dos cuadrados adyacentes es el ángulo diédrico de un cubo entre esos, ${\displaystyle \pi /2}$
• El ángulo diédrico de una pirámide cuadrada equilátera entre el cuadrado y el triángulo es . Por lo tanto, el ángulo diédrico de una bipirámide cuadrada alargada entre triángulo y cuadrado, en el borde donde las pirámides cuadradas equiláteras unen el cubo, es ${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$
  $${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.74^{\circ }.}$$

Poliedro dual

El dual de la pirámide cuadrada alargada tiene 9 caras: 4 triangulares, 1 cuadrada y 4 trapezoidales.

Poliedros y panales relacionados

La pirámide cuadrada alargada puede formar un mosaico del espacio con tetraedros , ^[6] similar a un panal tetraédrico-octaédrico modificado .

Ver también

• Bipirámide cuadrada alargada

Referencias

1. Rajwade, AR (2001). Poliedros convexos con condiciones de regularidad y tercer problema de Hilbert. Textos y Lecturas en Matemáticas. Agencia de libros Hindustan. pag. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
2. Uehara, Ryuhei (2020). Introducción al origami computacional: el mundo de la nueva geometría computacional. Saltador. pag. 62.doi :10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
3. Sapiña, R. "Área y volumen del sólido de Johnson J 8 {\displaystyle J_ {8}}". Problemas y Ecuaciones (en español). ISSN  2659-9899 . Consultado el 9 de septiembre de 2020 .
4. Berman, Martín (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. SEÑOR  0290245.
5. Johnson, Norman W. (1966). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169-200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . SEÑOR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
6. "Panal J8".

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Johnson solid" ("Pirámide cuadrada alargada") en MathWorld .