En matemáticas, un dendroid es un tipo de espacio topológico que satisface las propiedades de ser hereditariamente unicoherente (lo que significa que cada subcontinuo de X es unicoherente), conexo por arco y que forma un continuo . [1] El término dendroid fue introducido por Bronisław Knaster dando una conferencia en la Universidad de Wrocław , [2] aunque estos espacios fueron estudiados anteriormente por Karol Borsuk y otros. [3] [4]
Borsuk (1954) demostró que los dendroides tienen la propiedad del punto fijo : toda función continua desde un dendroid hasta sí mismo tiene un punto fijo. [3] Cook (1970) demostró que todo dendroid es arborescente , es decir, tiene cubiertas abiertas arbitrariamente finas cuyo nervio es un árbol. [1] [5] La cuestión más general de si todo continuo arborescente tiene la propiedad del punto fijo, planteada por Bing (1951), [6]
fue resuelta negativamente por David P. Bellamy, quien dio un ejemplo de un continuo arborescente sin la propiedad del punto fijo. [7]
En la publicación original de Knaster sobre dendroides, en 1961, se planteó el problema de caracterizar los dendroides que pueden ser embebidos en el plano euclidiano . Este problema permanece abierto. [2] [8] Otro problema planteado en el mismo año por Knaster, sobre la existencia de una colección incontable de dendroides con la propiedad de que ningún dendroides en la colección tiene una sobreyección continua sobre ningún otro dendroides en la colección, fue resuelto por Minc (2010) e Islas (2007), quienes dieron un ejemplo de tal familia. [9] [10]
Un dendroide conectado localmente se denomina dendrita . Un cono sobre el conjunto de Cantor (llamado abanico de Cantor ) es un ejemplo de un dendroide que no es una dendrita. [11]
Referencias
^ ab Cook, H. (1995), Continua: con el libro de problemas de Houston, Apuntes de clase sobre matemáticas puras y aplicadas, vol. 170, CRC Press, pág. 31, ISBN 9780824796501
^ ab Charatonik, Janusz J. (1997), "Los trabajos de Bronisław Knaster (1893–1980) en la teoría del continuo", Manual de la historia de la topología general, vol. 1 , Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., págs. 63–78, MR 1617581.
^ ab Borsuk, K. (1954), "Un teorema sobre puntos fijos", Bulletin de l'Académie polonaise des sciences. Classe troisième. , 2 : 17-20.
^ Lelek, A (1961), "Dendroides en el plano y sus puntos finales en el sentido clásico" (PDF) , Fund. Math. , 49 (3): 301–319, doi : 10.4064/fm-49-3-301-319.
^ Cook, H. (1970), "Semejanza arbórea de los dendroides y los λ-dendroides", Fundamenta Mathematicae , 68 : 19–22, doi : 10.4064/fm-68-1-19-22 , MR 0261558.
^ Bing, RH (1951), "Continuos con forma de serpiente", Duke Mathematical Journal , 18 (3): 653–663, doi :10.1215/s0012-7094-51-01857-1, MR 0043450.
^ Bellamy, David P. (1980), "Un continuo con forma de árbol sin la propiedad del punto fijo", Houston J. Math. , 6 : 1–13, MR 0575909.
^ Martínez-de-la-Vega, Verónica ; Martínez-Montejano, Jorge M. (2011), "Problemas abiertos sobre dendroides", en Pearl, Elliott M. (ed.), Problemas abiertos en topología II , Elsevier, págs. 319–334, ISBN9780080475295. Véase en particular la pág. 331.
^ Minc, Piotr (2010), "Una colección incontable de dendroides mutuamente incomparables por funciones continuas", Houston Journal of Mathematics , 36 (4): 1185–1205, MR 2753740. Previamente anunciado en 2006.
^ Islas, Carlos (2007), "Una colección incontable de abanicos planares mutuamente incomparables", Topology Proceedings , 31 (1): 151–161, MR 2363160.
^ Charatonik, JJ; Charatonik, WJ; Miklós, S. (1990). "Mapeos confluentes de fans". Disertaciones Mathematicae . 301 : 1–86.
