Espacio exterior

En matemáticas , la noción de externalología en un espacio topológico X generaliza las propiedades básicas de la familia

ε ^X _cc = {E ⊆ X : X\E es un subconjunto compacto cerrado de X}

de complementos de los subespacios compactos cerrados de X , que se utilizan para construir su compactificación de Alexandroff . Una externalología permite introducir una noción de punto final ^[1] , para estudiar la divergencia de redes en términos de convergencia a puntos finales y es una herramienta útil para el estudio y clasificación de algunas familias de espacios topológicos no compactos. También se puede utilizar para aproximarse a un espacio topológico como límite de otros espacios topológicos: las externologías son muy útiles cuando un espacio métrico compacto embebido en un espacio de Hilbert se aproxima por sus vecindades abiertas .

Definición

Sea (X,τ) un espacio topológico. Una externalología en (X,τ) es una colección no vacía ε de subconjuntos abiertos que satisfacen:

• Si E ₁ , E ₂ ∈ ε , entonces E ₁ ∩ E ₂ ∈ ε ;
• si E ∈ ε, U ∈ τ y E ⊆ U , entonces U ∈ ε .

Un espacio exterior (X,τ,ε) consiste en un espacio topológico (X,τ) junto con una externalología ε . Un E abierto que está en ε se dice que es un subconjunto exterior-abierto . Una función f:(X,τ,ε) → (X',τ',ε') se dice que es una función exterior si es continua y f ⁻¹ (E) ∈ ε , para todo E ∈ ε' .

La categoría de espacios exteriores y mapas exteriores se denotará por E. Es notable que E sea una categoría completa y co-completa .

Algunos ejemplos de espacios exteriores

• Para un espacio (X,τ) siempre se puede considerar la externalología trivial ε _tr ={X} , y, por otro lado, la externalología total ε _tot =τ . Nótese que una externalología ε es una topología si y solo si el conjunto vacío es un miembro de ε si y solo si ε=τ .
• Dado un espacio (X,τ) , la externalología ε ^X _cc de los complementos de subconjuntos compactos cerrados de X permite una conexión con la teoría de mapas propios .
• Dado un espacio (X,τ) y un subconjunto A⊆X la familia ε(X,A)={U⊆X:A⊆U,U∈τ} es una externalología en X . Dos casos particulares con importantes aplicaciones en teoría de formas y en sistemas dinámicos , respectivamente, son los siguientes:
• Si A es un subespacio cerrado del cubo de Hilbert X=Q la exterlogía ε ^A =ε(Q,A) es una resolución de A en el sentido de la teoría de la forma.
• Sea X un sistema dinámico continuo y P el subconjunto de puntos periódicos ; podemos considerar la externalología ε(X,P) . De manera más general, si A es un subconjunto invariante, la externalología ε(X,A) es útil para estudiar las propiedades dinámicas del flujo .

Aplicaciones de espacios exteriores

• Teoría de homotopía propia : ^[1] Se dice que una función continua f:X→Y entre espacios topológicos es propia si para cada subconjunto compacto cerrado K de Y , f ⁻¹ (K) es un subconjunto compacto de X . La categoría de espacios y funciones propias se denotará por P . Esta categoría y la categoría de homotopía propia correspondiente son muy útiles para el estudio de espacios no compactos. Sin embargo, uno tiene el problema de que esta categoría no tiene suficientes límites y colímites y entonces no podemos desarrollar las construcciones de homotopía usuales como bucles , límites y colímites de homotopía, etc. Una respuesta a este problema es la categoría de espacios exteriores E que admite estructuras del modelo de Quillen y contiene como subcategoría completa la categoría de espacios y funciones propias; es decir, existe un funtor completo y fiel P → E que lleva un espacio topológico (X,τ) al espacio exterior (X,τ,ε ^X _cc ) .
• Categoría propia de LS : El problema de encontrar caracterizaciones de Ganea y Whitehead de este invariante propio no puede ser abordado dentro de la categoría propia debido a la falta de (co)límites. Sin embargo, una extensión de este invariante a la categoría de espacios exteriores permite encontrar una solución a tal problema. Este invariante propio numérico ha sido aplicado al estudio de variedades 3-abiertas .
• Teoría de la forma : Muchosinvariantes de forma (grupos de Borsuk, grupos internos y de aproximación de Quigley) de un espacio métrico compacto se pueden obtener como grupos de homotopía exteriores del espacio exterior determinado por los vecindarios abiertos de un espacio métrico compacto incrustado en el cubo de Hilbert.
• Sistemas dinámicos discretos y continuos (semiflujos y flujos) : Existen muchas construcciones que asocian un espacio exterior a un sistema dinámico, por ejemplo: Dado un flujo continuo (discreto) se pueden considerar los espacios exteriores inducidos por los vecindarios abiertos del subconjunto de puntos periódicos , puntos periódicos de Poisson, límites omega , etc. Las construcciones y propiedades de estos espacios exteriores asociados se utilizan para estudiar las propiedades dinámicas del flujo (semiflujo).

Referencias

1. "Teoría de homotopía adecuada en nLab". ncatlab.org .

• M. Cárdenas, FF Lasheras y A. Quintero. Detección de clases de cohomología para la categoría LS adecuada. El caso de 3-variedades semiestables , Math. Proc. Camb. Philos. Soc. (2011).
• A. Del Río, LJ Hernández y MT Rivas Rodríguez. Tipos S de torres globales de espacios y espacios exteriores , Appl. Categ. Struct., 17 no. 3, 287–301, (2009).
• L. Español, JM García-Calcines, MC Mínguez. Sobre secuencialidad propia y exterior , Appl. Categoría. Estructura, 18 , núm. 6, 653–668, (2010).
• JI Extremiana, LJ Hernández y MT Rivas. Factorizaciones de Postnikov al infinito , Topol. Appl., 153 , 370–393, (2005).
• JI Extremiana, LJ Hernández y MT Rivas. Una aproximación a los sistemas dinámicos utilizando espacios exteriores . Aportes científicos en honor a Mirian Andrés Gómez, 307Đ318, Univ. Serv.La Rioja. Publ., Logroño, 2010.
• JM García-Calcines, PR García-Díaz, A. Murillo Mas. "Un enfoque de Whitehead-Ganea para la categoría Lusternik-Schnirelmann adecuada" . Matemáticas. Proc. Camb. Filos. Soc. 142 (2007), núm. 3, 439—457.
• JM García-Calcines, PR García-Díaz, A. Murillo Mas, La conjetura de Ganea en homotopía propia vía teoría de la homotopía exterior . Matemáticas. Proc. Camb. Filos. Soc. 149 (2010), núm. 1, 75—91.
• JM García-Calcines, M. García Pinillos y LJ Hernández. Una categoría modelo cerrada para la homotopía propia y las teorías de la forma , Bull. Aust. Math. Soc. 57 no.2, 221—242, (1998).
• JM García-Calcines y LJ Hernández. Homología secuencial , Topol. Aplica. 114/2 , 201–225, (2001).
• JM García-Calcines, M. García Pinillos y LJ Hernández. Estructuras modelo simplificadas cerradas para homotopía exterior y adecuada , Appl. Categoría. Estructura. 12 , núm. 3, 225–243, (2004).
• M. García-Pinillos, LJ Hernández Paricio y MT Rivas Rodríguez. Secuencias exactas y categorías de modelos cerrados , Appl. Categoría. Estructura, 18 , núm. 4, 343–375 (2010). DOI 10.1007/s10485-008-9176-x (2009).