Cubo de Hilbert

Tipo de espacio topológico

En matemáticas , el cubo de Hilbert , llamado así por David Hilbert , es un espacio topológico que proporciona un ejemplo instructivo de algunas ideas de topología . Además, muchos espacios topológicos interesantes pueden incluirse en el cubo de Hilbert; es decir, pueden considerarse como subespacios del cubo de Hilbert (véase más abajo).

Definición

El cubo de Hilbert se define mejor como el producto topológico de los intervalos para Es decir, es un cuboide de dimensión infinita contable , donde las longitudes de los bordes en cada dirección ortogonal forman la secuencia ${\displaystyle [0,1/n]}$ ${\displaystyle n=1,2,3,4,\ldots .}$ ${\displaystyle \lbrace 1/n\rbrace _{n\in \mathbb {N} }.}$

El cubo de Hilbert es homeomorfo al producto de un número infinito de copias numerables del intervalo unitario . En otras palabras, es topológicamente indistinguible del cubo unitario de dimensión infinita numerable. Algunos autores utilizan el término "cubo de Hilbert" para referirse a este producto cartesiano en lugar del producto de los . ^[1] ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle \left[0,{\tfrac {1}{n}}\right]}$

Si un punto en el cubo de Hilbert se especifica mediante una secuencia con entonces un homeomorfismo al cubo unitario de dimensión infinita viene dado por ${\displaystyle \lbrace a_{n}\rbrace }$ ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq 1/n,}$ ${\displaystyle h(a)_{n}=n\cdot a_{n}.}$

El cubo de Hilbert como espacio métrico

A veces es conveniente pensar en el cubo de Hilbert como un espacio métrico , de hecho como un subconjunto específico de un espacio de Hilbert separable (es decir, un espacio de Hilbert con una base de Hilbert infinitamente numerable). Para estos fines, es mejor no pensar en él como un producto de copias de sino como, como se indicó anteriormente, para las propiedades topológicas, esto no hace ninguna diferencia. Es decir, un elemento del cubo de Hilbert es una secuencia infinita que satisface ${\displaystyle [0,1],}$ $${\displaystyle [0,1]\times [0,1/2]\times [0,1/3]\times \cdots ;}$$ $${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$$ $${\displaystyle 0\leq x_{n}\leq 1/n.}$$

Cualquier secuencia de este tipo pertenece al espacio de Hilbert, por lo que el cubo de Hilbert hereda una métrica de allí. Se puede demostrar que la topología inducida por la métrica es la misma que la topología del producto en la definición anterior. ${\displaystyle \ell _{2},}$

Propiedades

Como producto de espacios de Hausdorff compactos , el cubo de Hilbert es en sí mismo un espacio de Hausdorff compacto como resultado del teorema de Tichonoff . La compacidad del cubo de Hilbert también se puede demostrar sin el axioma de elección construyendo una función continua a partir del conjunto de Cantor habitual sobre el cubo de Hilbert.

En ningún punto hay un entorno compacto (por lo tanto, no es localmente compacto ). Se podría esperar que todos los subconjuntos compactos de sean de dimensión finita. El cubo de Hilbert demuestra que no es así. Pero el cubo de Hilbert no es un entorno de ningún punto porque su lado se hace cada vez más pequeño en cada dimensión, de modo que una bola abierta de cualquier radio fijo debe salir del cubo en alguna dimensión. ${\displaystyle \ell _{2},}$ ${\displaystyle \ell _{2}}$ ${\displaystyle \ell _{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e>0}$

Cualquier subconjunto compacto convexo de dimensión infinita de es homeomorfo al cubo de Hilbert. El cubo de Hilbert es un conjunto convexo, cuyo espacio abarca todo el espacio, pero cuyo interior está vacío. Esta situación es imposible en dimensiones finitas. El cono tangente al cubo en el vector cero es todo el espacio. ${\displaystyle \ell _{2}}$

Cada subconjunto del cubo de Hilbert hereda del cubo de Hilbert las propiedades de ser metrizable (y por lo tanto T4 ) y segundo numerable . Es más interesante que también se cumpla la inversa: todo segundo espacio numerable T4 es homeomorfo a un subconjunto del cubo de Hilbert.

Todo subconjunto G _δ del cubo de Hilbert es un espacio polaco , un espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico separable y completo. A la inversa, todo espacio polaco es homeomorfo a un subconjunto G δ del cubo de Hilbert. ^[2]

Véase también

• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos

Notas

1. Friedman 1981, pág. 221.
2. Srivastava 1998, pág. 55.

Referencias

• Friedman, Harvey (1981). "Sobre el uso necesario de la teoría abstracta de conjuntos" (PDF) . Avances en Matemáticas . 41 (3): 209–280. doi : 10.1016/0001-8708(81)90021-9 . Consultado el 19 de diciembre de 2022 .
• Srivastava, Shashi Mohan (1998). Un curso sobre conjuntos de Borel. Textos de posgrado en matemáticas . Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-98412-4. Consultado el 4 de diciembre de 2008 .
• "Die Homoiomorphie der kompakten konvexen Mengen im Hilbertschen Raum" [El homomorfismo de los conjuntos compactos convexos en el espacio de Hilbert] (en alemán). EUDML. Archivado desde el original el 2020-03-02.

Lectura adicional

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.Sr. 0507446  .