La topología contable o complemento contable en cualquier conjunto X consta del conjunto vacío y todos los subconjuntos contables de X , es decir, todos los conjuntos cuyo complemento en X es contable . De ello se deduce que los únicos subconjuntos cerrados son X y los subconjuntos contables de X. Simbólicamente, se escribe la topología como
Cada conjunto X con topología contable es Lindelöf , ya que cada conjunto abierto no vacío omite sólo un número contable de puntos de X. También es T 1 , ya que todos los singleton están cerrados.
Si X es un conjunto incontable, entonces dos conjuntos abiertos no vacíos cualesquiera se cruzan, por lo tanto, el espacio no es Hausdorff . Sin embargo, en la topología contable todas las secuencias convergentes son eventualmente constantes, por lo que los límites son únicos. Dado que los conjuntos compactos en X son subconjuntos finitos, todos los subconjuntos compactos son cerrados, otra condición generalmente relacionada con el axioma de separación de Hausdorff.
La topología contable en un conjunto contable es la topología discreta . La topología contable en un conjunto incontable es hiperconectada , por lo tanto conectada , localmente conectada y pseudocompacta , pero ni débilmente contablemente compacta ni contablemente metacompacta , por lo tanto, no compacta.
